Виды измерений и причины ошибок
Наиболее вероятное значение измеряемой величины
Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности
Ошибки косвенных измерений
Найдем средние значения и погрешности следующих пяти измерений
Виды случайных величин и законы их распределения
Числовые характеристики случайных величин, заданных своими распределениями
Закон Пуассона
Вероятности ошибок первого и второго рода
Графический метод обработки результатов
Аналитические методы обработки результатов
Знак S обозначают сумму величин от i = 1 до i = n, где n
Номограммы в декартовой системе координат
Навигация
Числовые характеристики случайных величин, заданных своими распределениями
Обработка результатов экспериментов и наблюдений
87319
знаков
11
таблиц
16
изображений
2.2. Числовые характеристики случайных величин, заданных своими распределениями
Основными характеристиками случайной величины, заданной своими распределениями, является математическое ожидание ( или среднее значение ) и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины является центром ее распределения. Дисперсия характеризует отклонение случайной величины от ее среднего значения.
Если Х дискретная случайная величина, значения хi которой принимают с вероятностью pi, так, что 
, то математическое ожидание М (Х) случайной величины Х определяется равенством
M (X) = 
,
т.е. суммой произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины является аналог его дискретного выражения
M (X) = 
.
Действительно, все значения в интервале (х; х + Dх) можно считать примерно равными х, а вероятность таких значений равна ¦ (х) dx (см. ранее). Поэтому значения хi дискретного распределения заменяются х, а вероятности pi - на ¦ (х) dx, а сумма заменяется интегралом.
Дисперсией или рассеянием случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.
D (Х) = М [Х - М (Х)]2 = М (Х - х)2 = s2 (х)
Если случайная величина Х дискретна и принимает значения хi с вероятностями pi, то случайная величина (Х - х)2 принимает значения (хi - х)2 с вероятностями Рi. Поэтому для дискретной случайной величины имеем
D (X) = 
.
Аналогично для непрерывной случайной величины получаем
D (X) = 
.
Чем меньше величина дисперсии, тем лучше значения случайной величины характеризуются ее математическим ожиданием.
2.3. Основные дискретные и непрерывные законы распределения
Как отмечалось ранее, очень часто случайная величина распределена по нормальному закону. Но существуют и другие распределения, имеющие практическое значение. Рассмотрим некоторые из них по условиям возникновения и основным параметрам их характеризующим.
1. Равномерное распределение вероятностей.
Пусть плотность вероятности А равна нулю всюду, кроме интервала (a; b), на котором она постоянна (рис. 6). Тогда можно записать
p (a < X < b) = 
A = 
.
Рис. 6. Дифференциальный и интегральный законы
равномерного распределения
Тогда дифференциальный закон равномерного распределения определяется
¦ (x) = 
Интегральный закон распределения
F (x) = 
.
При х ³ b имеем
F (x) = 
Таким образом интегральный закон равномерного распределения задается (рис. 6)
F (x) = 
Основные характеристики распределения
М (X) = 
;
D(X) = 
= 
= 
.
2. Биноминальное распределение
Пусть при некотором испытании событие А может наступить или не произойти (А). Обозначим вероятность А через р, а А через q = 1 -р ( других итогов испытания нет ). Тогда исходами двух последовательных независимых испытаний и их вероятностью будут:
АА - р2; АА - рq; АА - qр; АА - q2.
Отсюда видно, что двукратное появление события А равно р2, вероятность однократного появления - 2 рq, а вероятность того, что А не наступит ни разу - q2. Эти результаты единственно возможные и поэтому
.
Это рассуждение можно перенести на любое число испытаний.
Например, при трех испытаниях получим
.
Подсчитаем вероятность того, что при n испытаниях событие А появится m раз. Это может произойти, например, в последовательности
Ясно, что вероятность равна рmqn-m. Но m событий А может быть и в другом сочетании. Число всех возможных сочетаний из n элементов по m (количество событий А) равно числу сочетаний 
. Используя теорему сложения вероятностей получаем общую вероятность Рm,n наступления m событий А из n испытаний
Pm,n= 
= 
.
Из этой формулы видно, что вероятности Рm,n для различного исхода испытаний (появление или не появление определенного результата А) определяется
pn + npn-1q + 
.
Коэффициенты перед вероятностями р, q являются биноминальными коэффициентами, а общая вероятность представляет слагаемые в разложении бинома ( р + q )n. Поэтому закон распределения случайной величины Х, в котором вероятность наступления событий А определяется коэффициентами бинома, называется биноминальным распределением дискретной случайной величины. Этот закон может быть задан в виде таблицы 1.
Таблица 1
Биноминальный закон распределения
|
хi | 0 | 1 | 2 |
... | m |
... | n |
|
|
pi | qn |
npqn-1 |
| ... |
| ... | pn | |
Биномиальные коэффициенты удобно получать с помощью треугольника Паскаля.
1 n = 0
1 1 n = 1
1 2 1 n = 2
1 3 3 1 n = 3
1 4 6 4 1 n = 4
1 5 10 10 5 1 n = 5
Все строки треугольника ( начинающегося с единицы ) начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа получаются сложением соседних чисел вышестоящей строки. Числа, стоящие в одной строке, являются биноминальными коэффициентами соответствующей степени.
Из описания биномиального распределения становится ясно, что область его действия там, где возможно многократное проведение испытаний с известной вероятностью.
На рис. 7 представлен биномиальный закон распределения.
Рис. 7. Биномиальный закон распределения
Определим основные характеристики этого распределения.
Математическое ожидание
М (Х) = 
+ 
+ 
= np (q + p)n-1 = np.
Дисперсия распределения может быть определена из общего выражения
,
но это приводит к громоздким вычислениям. В то же время случайная величина Х принимает в каждом опыте только два значения: 1, если событие А произошло и 0, если оно не произошло с вероятностями, соответственно, р или q. Тогда математическое ожидание одного опыта определится
М (Х1) = 0×q + 1×р = р = х
и соответственно дисперсия одного опыта
D (Х1) = (0 - р)2×q + (1 - р)2×р = р2q + q2р = рq (р + q) = рq.
Тогда дисперсия всех n опытов составит
D (X) = n×p×q.
Похожие работы
... Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается. Контрольные вопросы Цель математической обработки результатов эксперимента; Виды измерений; Типы ошибок измерения; Свойства случайных ошибок; Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее распределения является ...
... распределения случайной величины. а) коэффициент асимметрии; б) момент случайной величины; в) коэффициент эксцесса; г) математическое ожидание. Ответ: в). Тема 9. МЕТОДЫ ВТОРИЧНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Тестовое задание 1. Выберите верные ответы. В зависимости от используемых источников информации исследования делятся на: а) кабинетные; б) ...
... , казалось бы, характеризуется чисто эмпирическими признаками: изменением управляемых условий, включением и выключением приборов и различных механизмов, фиксированием тех или иных свойств, эффектов и т. п. В ходе эксперимента как бы уменьшается роль теории. Но на самом деле наоборот - без теоретического знания невозможны постановка промежуточных задач и их решение. Экспериментальная установка - ...
... свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, а только его часть (дробную реплику). Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). ДФЭ ...
0 комментариев