Виды измерений и причины ошибок
Наиболее вероятное значение измеряемой величины
Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности
Ошибки косвенных измерений
Найдем средние значения и погрешности следующих пяти измерений
Виды случайных величин и законы их распределения
Числовые характеристики случайных величин, заданных своими распределениями
Закон Пуассона
Вероятности ошибок первого и второго рода
Графический метод обработки результатов
Аналитические методы обработки результатов
Знак S обозначают сумму величин от i = 1 до i = n, где n
Номограммы в декартовой системе координат
Навигация
Закон Пуассона
Обработка результатов экспериментов и наблюдений
87319
знаков
11
таблиц
16
изображений
3. Закон Пуассона
В случае малых р ( или, наоборот, близких к 1 ) биноминальный закон распределения можно преобразовать следующим образом
,
где 
.
.
Определим предел Рm,n при n ® ¥ и постоянном m. Тогда пределы
равны единице, а 
.
Окончательно имеем
.
Это распределение называется законом Пуассона, где l - интенсивность распределения. Используется в задачах с редкими событиями. На рис. 8 представлена схема вероятностей, распределенных по закону Пуассона.
Рис. 8. Закон распределения Пуассона
Определим его основные характеристики и смысл величины l.
Запишем закон распределения в виде таблицы.
| õi |
0 |
1 | 2 | ... | m |
... |
|
pi | e-l | | | ... | | ... |
M (X) = 
+ 
.
Выражение в скобках есть разложение функции еl в ряд Маклорена.
Поэтому
М (Х) = lе-lеl = l.
Не рассматривая вывод отметим, что
D (Х) = l,
т.е. дисперсия равна математическому ожиданию.
Рассмотренные виды распределений случайной величины, конечно, не исчерпывают всех существующих распределений. Можно назвать еще несколько: распределение Бернулли, экспоненциальное распределение, гамма - распределение, распределение Вейбула, гипергеометрические распределения и др. При определенных условиях и параметрах один вид распределения может переходить в другой. Поэтому при решении практических задач по законам распределения случайных величин следует обращаться к специальной литературе.
2.4. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия
Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Такие утверждения можно делать на основе теоретических соображений или статистических исследований других наблюдений. Например, при многократном измерении некоторой физической величины, точное значение Х которой не известно, но в процессе измерений оно меняется. На результат измерений влияют многие случайные факторы, поэтому результат i - го измерения можно записать в виде аi = Х + εi, где εi - случайная погрешность измерения. Если εi складывается из большого числа ошибок, каждая из которых не велика, то на основании центральной предельной теоремы можно предположить, что случайные величины аi имеют нормальное распределение. Такое предположение является статистической гипотезой о виде распределения наблюдаемой случайной величины.
Если для исследуемого явления сформулирована та или иная гипотеза ( обычно ее называют основной или нулевой гипотезой и обозначают символом Но ), то задача состоит в том, чтобы сформулировать правило, которое позволяло бы по результатам наблюдений принять или отклонить эту гипотезу. Правило, согласно которому проверяемая гипотеза Но принимается или отвергается, называется статистическим критерием проверки гипотезы Но .
Наиболее распространены такие статистические гипотезы, как:
а) вида распределения;
б) однородности нескольких серий независимых результатов;
в) случайности результатов эксперимента и т.п.
Статистический критерий проверки гипотезы Но служит для определения возможного отклонения от основной гипотезы. Характер отклонений может быть различным. Если критерий ²улавливает² любые отклонения от Но, то такой критерий называют универсальным или критерием согласия. Существуют критерии, которые выявляют отклонения от заданного вида, это узко направленные критерии.
Выбор правила проверки гипотезы Но эквивалентен заданию критической области х1, при попадании в которую переменной х гипотеза Но отвергается. Критерий, определяемый критической областью х1 называют критерием х1.
В процессе проверки гипотезы Но можно прийти к правильному решению или совершить ошибку первого рода - отклонить Но когда она верна, или ошибку второго рода - принять Но, когда она ложна. Иными словами, ошибка первого рода имеет место, если точка х попадает в критическую область х1, в то время как верна нулевая гипотеза Но, а ошибка второго рода - когда х Î хо, но гипотеза Но ложна.
Желательно провести проверку гипотезы так, чтобы свести к минимуму вероятности обоих ошибок. Однако при данном числе испытаний n в общем случае невозможно одновременно обе эти вероятности сделать как угодно малыми. Поэтому наиболее рационально выбирать критическую область следующим образом: при заданном числе испытаний n устанавливается граница для вероятности ошибки первого рода и при этом выбирается та критическая область х1, для которой вероятность ошибки второго рода минимальна.
Похожие работы
... Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается. Контрольные вопросы Цель математической обработки результатов эксперимента; Виды измерений; Типы ошибок измерения; Свойства случайных ошибок; Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее распределения является ...
... распределения случайной величины. а) коэффициент асимметрии; б) момент случайной величины; в) коэффициент эксцесса; г) математическое ожидание. Ответ: в). Тема 9. МЕТОДЫ ВТОРИЧНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Тестовое задание 1. Выберите верные ответы. В зависимости от используемых источников информации исследования делятся на: а) кабинетные; б) ...
... , казалось бы, характеризуется чисто эмпирическими признаками: изменением управляемых условий, включением и выключением приборов и различных механизмов, фиксированием тех или иных свойств, эффектов и т. п. В ходе эксперимента как бы уменьшается роль теории. Но на самом деле наоборот - без теоретического знания невозможны постановка промежуточных задач и их решение. Экспериментальная установка - ...
... свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, а только его часть (дробную реплику). Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). ДФЭ ...
0 комментариев