Архимед установил неравенства

2. Архимед установил неравенства

3. Если - наибольший квадрат, содержащийся в числе, а - остаток, то

при

при

(Аль-Кальсади, Трактат "Раскрытие тайн науки Габар", XV век).

Дальнейшие обобщения натуральных, целых, рациональных и т.д. чисел привели к понятию алгебраической системы, в частности, к понятию кольца и поля. Так, иррациональные числа с алгебраической точки зрения являются элементами поля , они не содержатся в поле , и поле является расширением поля .

2. Неравенства и их основные свойства

Мы будем рассматривать положительные, отрицательные действительные числа и число . Изобразим горизонтальную числовую прямую, направленную вправо и числа на ней.

При движении вдоль прямой слева направо числа будут появляться в порядке их возрастания. Ясно, что . Но , так как точка, изображающая , расположена правее точки, изображающей . Таким образом, мы имеем следующее геометрическое правило для определения неравенства:

Пусть и- какие-нибудь два действительных числа, изображенных точками горизонтальной числовой прямой, направленной слева направо. Тогда в том и только том случае, когда точка, изображающая число , лежит правее точки, изображающей число .

Это геометрическое правило можно заменить простым арифметическим правилом, если принять понятие положительного числа за основное:

Пусть и - какие-нибудь два действительных числа. Тогда в том и только том случае, когда положительно. В частности всякое положительное число больше нуля, ибо разность положительна. Поэтому неравенство употребляется для символической записи утверждения, что число положительно. Отрицательное число определяется как число, противоположное положительному числу относительно точки на числовой прямой. Всякое отрицательное число меньше нуля, ибо, если отрицательно, то положительно. Запись употребляется для обозначения утверждения, что отрицательное число.

Число нуль обладает тем свойством, что для любого действительного числа .

Итак, числа и могут относиться друг к другу следующим образом:

1).

2).

3).

Причем всегда имеет место одно и только одно из этих соотношений.

Рассмотрим теперь основные свойства неравенств.

Теорема 1. Если и , то .

Это свойство называется свойством транзитивности неравенств.

В самом деле,

как сумма двух отрицательных слагаемых. Дадим геометрическое толкование свойства транзитивности: точка на числовой прямой расположена левее точки , а точка левее точки , при этих условиях точка расположена левее точки .

Теорема 2. Если , то , т.е. при изменении знака обеих частей неравенства смысл знака неравенства меняется на обратный.

Действительно,

Следовательно, по определению .

Геометрическая иллюстрация:

Теорема 3. Если и , то , т.е. обе части неравенства можно умножить на положительное число.

Действительно,

Но и . Следовательно, . Итак, , т.е. , что и требовалось доказать.

Теорема 4. Если и , то , т.е. при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Действительно,

.

Но , , следовательно, и , т.е. .

Теорема 5. Если и , то , т.е. при умножении обеих частей неравенства на нуль неравенство переходит в равенство.

Действительно,

Теорема 6. Если и - произвольное число, то , т.е. к обеим частям неравенства можно прибавить произвольное число.

Действительно, , где . Следовательно, , а так как , имеем: .

Теорема 7. Если , и , то . Предварительно напомним, что есть обратное число, т.е. такое, что . Имеем . Но, с другой стороны,

Следовательно, и , так как, если произведение и один из множителей положительны, то и другой множитель положителен. Значит .

Теорема 8. Если , то , т.е. квадрат любого отличного от нуля числа положителен. Это следует из определения умножения положительных и отрицательных чисел.

Теорема 9. Если и , то , т.е. два неравенства одинакового смысла можно сложить.

Имеем , ,где и . Следовательно,

или

где , что и требовалось доказать.

Теорема 10. Если и , то . Как легко показать, разность положительна.

Теорема 11. (о перемножении неравенств)

Если , и и положительны, то , т.е. обе части неравенства с положительными членами можно умножить на неравенство того же смысла, больший член которого положителен.

Имеем последовательно:

Здесь каждое произведение, а следовательно, и сумма положительны, что и требовалось доказать.

Теорема 12. (о делении неравенств)

Если , , , , - положительны, то .

Действительно, здесь , и, на основании теоремы о перемножении неравенств, имеем , что и требовалось доказать.

Теорема 13. Если - четное число, , а , то , т.е. четная степень любого числа, отличного от нуля, положительна.

Теорема вытекает из положений, что и .

Теорема 14. Если - нечетное число, и , то , т.е. отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

Теорема вытекает из следующих соотношений: и .

Теорема 15. Если - нечетное число, и - положительно, а - отрицательно, то . Из предыдущего видно, что , а , откуда .

Теорема 16. Если числа и положительны и , то , где - целое положительное число.

Действительно, если предположить, что , то возведя обе части неравенства в степень . получим , т.е. придем к противоречию.

Теорема 17. Если , то , где - произвольное положительное рациональное число.

В самом деле, из имеем и дальше .

Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две функции и . Если поставить между ними один из знаков неравенства (>,,), получим условное неравенство. В дальнейшем такие условные неравенства мы будем называть просто неравенства.

Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства называется множество таких значений , при которых и функция , и функция определены. Иными словами, ОДЗ неравенства - это пересечение ОДЗ функции и ОДЗ функции .

Частным решением неравенства называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной . Решением неравенства называется множество всех его частных решений.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений). Если каждое частное решение неравенства является в то же время частным решением неравенства , полученного после преобразований неравенства , то неравенство называется следствием неравенства . В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным неравенствам.

Теорема 18. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже функцию , которая определена при всех значениях из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, неравенства

(1)

и

(2)

равносильны.

Доказательство: Пусть =- произвольное решение неравенства . Тогда - истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число (по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2) имеют одну и ту же область определения. На основании свойства 6 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство - истинное. Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2).

Обратно, пусть - произвольное решение неравенства (2), значит - истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого неравенства числа по свойству 6 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство . Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие. Неравенства

и

равносильны.

Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию , которая при всех значениях из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

Таким образом, если , то неравенства

(1)

и

(2)

(или ) равносильны.

Доказательство: пусть произвольное решение неравенства (1). Тогда - истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число (по условию это число существует, ибо функция имеет смысл при всех из области определения неравенства (1), причем ). Н основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое неравенство (2) тоже истинное при .

Обратно, пусть - произвольное решение неравенства (2), значит - истинное числовое неравенство. После деления обеих частей неравенства на число (по условию) по свойству 12 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство .

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию , которая при всех значениях из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство. равносильное исходному.

Таким образом, если , то неравенства

(1)

и

(2)

(или ) равносильны.

Доказательство: Пусть произвольное решение неравенства (1). Тогда - истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число (по условию это число существует, ибо функция имеет решение при всех из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство тоже истинное.

Обратно, пусть - произвольное решение неравенства (2), значит -истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на число по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство .

Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 21. Пусть дано неравенство , причем и при всех из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство

,

равносильное данному.

Доказательство: пусть - произвольное решение неравенства . Причем и (по условию). Тогда - истинное числовое неравенство. Но по свойству 17 числовых неравенств получаем, что числовое неравенство тоже истинно. Что и требовалось доказать.

Замечание. При выполнении тождественных преобразований возможно изменение области определения выражения. Например, при приведении подобных членов, при сокращении дроби может произойти расширение области определения. При решении неравенства в результате тождественных преобразований может получиться неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения тождественных преобразований, которые привели к расширению области определения неравенства, из найденных решений нужно отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства.

3. Корень - й степени. Иррациональные неравенства.

Определение. Корнем - й степени из действительного числа называется действительное число такое, что .

В частности, если , , то из получаем, что или . Если , , то из получаем, что . Заметим, что если - четное, а , то по свойствам действительных чисел не существует действительных таких, что . Если - четное, а , то существует ровно два действительных различных корня - й степени из . Положительный корень обозначается через - арифметический корень - й степени из , отрицательный . Если , то при любом существует единственный корень - й степени из - число .

Если, - нечетное, то для любого действительного числа существует единственный корень - й степени из . Этот корень называется арифметическим корнем - й степени из числа и обозначается .

Итак:

1. - четное, , - арифметический корень - й степени из неотрицательного числа .

2. - нечетное, - любое действительное число, - арифметический корень - й степени из действительного числа .

Значит, если показатель корня - число нечетное, то действия с такими корнями не вызывают затруднений ( имеет тот же знак, что и ), Основной случай для исследования - когда - четное.

Пусть функция - иррациональная, т.е. задается с помощью иррационального алгебраического выражения и не может быть задана с помощью рационального алгебраического выражения. Иррациональным неравенством называется неравенство вида . Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного иррационального уравнения.

Множество решений неравенства представляет собой, как правило, бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путем подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное исходному.

Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении обеих его частей в нечетную степень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Похожие работы

Психолого-педагогическое обоснование внеклассной работы по математике

Скачать

113174

0

0

... говоря о том, что некоторые виды технических средств обладают исключительно большими возможностями наглядного показа материала обучения. Олимпиада одна из основных форм организации внеклассной работы по математике. Термин «олимпиада» проявился давно, хотелось бы вспомнить об истории отечественной математической олимпиады. Сначала о ней говорили в единственном числе, поскольку она организовывалась ...

Специальная педагогика

Скачать

899509

4

0

... и устойчивых требований, которые определяют характер и особенности организации коррекционно-образовательного процесса и управления познавательной деятельностью лиц с особыми образовательными потребностями. Специальная педагогика опирается на соответствующие обще- педагогические принципы организации образования и управления познавательной деятельностью, однако их реализация в системе специального ...

Исторические экскурсы в курсе алгебры 7 класса как средство развития познавательного интереса

Скачать

70672

3

3

... труде - все это формирует и развивает познавательный интерес и превращает его в важный стимул учебной деятельности учащихся [20,46]. Существуют различные средства развития познавательного интереса: решение занимательных, логических задач, игра, исторические экскурсы и другие. Наиболее подробно остановимся на исторических экскурсах. Знакомство с историей науки полезно для каждого человека, а для ...

Подготовка к Единому государственному экзамену по математике через элективные курсы

Скачать

45824

3

0

... учащихся к ЕГЭ, учителя математики СОШ №26 г.Якутска используют перечень вопросов содержания (кодификатор) школьного курса математики, усвоение которых проверяется при сдачи единого государственного экзамена 2007г. Элективный курс по подготовке к Единому Государственному Экзамену основан на повторении, систематизации и углублении знаний полученных ранее. Занятия проходят в форме свободного ...