Траектории автономных систем
Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий
Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
Устойчивость линейных однородных систем
Устойчивость периодических решений
Автономные системы на плоскости. Предельные циклы
Устойчивость по первому приближению
Экспоненциальная устойчивость
Теоремы второго метода Ляпунова
Устойчивость по первому приближению
Навигация
Устойчивость по первому приближению
Устойчивость систем дифференциальных уравнений
43854
знака
0
таблиц
18
изображений
3.3. Устойчивость по первому приближению.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
, (8)
где 
— заданная квадратичная форма.
Лемма 1. Если собственные числа матрицы A удовлетворяют условию
, (9)
то уравнение (8) имеет единственное решение 
, являющееся квадратичной формой.
В следующих двух леммах будут построены квадратичные формы, являющиеся функциями Ляпунова для линейного уравнения
(10)
и удовлетворяющие условиям теорем 2 и 4.
Лемма 2. Пусть все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части, — определенно-отрицательная квадратичная форма. Тогда уравнение (8) имеет единственное решение , являющееся определенно-положительной квадратичной формой.
Лемма 3. Пусть матрица A имеет собственные числа с положительными вещественными частями. Тогда можно подобрать 
такое, что существует единственное решение уравнения
,
причем если — определенно-положительная квадратичная форма, то область 
для квадратичной формы непуста.
Докажем теперь теоремы 5 и 6 пункта 2.6. Рассмотрим уравнение (1), у которого
(11)
где 
удовлетворяет условию
(12)
равномерно по 
.
Теорема 5 (см. теорему 5 п. 2.6). Если все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части и 
удовлетворяет условию (12), то решение 
уравнения (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Построим функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию теоремы 2 для линейного уравнения (10), и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы 2 и для уравнения (1).
Пусть — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению
.
По лемме 2 определенно-положительная. Определим ее производную DV в силу уравнения (1). Из (2) и (11) имеем: 
. Отсюда получаем:
. (13)
Из (12) следует, что для любого 
можно указать 
такое, что при 
выполняется 
. Так как 
— квадратичная форма, то 
, 
, и 
. Очевидно также, что 
. Из (13) и записанных неравенств следует, что 
. Следовательно, DV — определенно-отрицательная функция при , если a выбрать по 
. Итак, выполнены все условия теоремы 2, откуда следует, что решение уравнения (1) асимптотически устойчиво. Теорема 5 доказана.
Теорема 6. (см. теорему 6 п. 2.6). Если среди собственных чисел матрицы имеются такие, вещественные части которых положительны, и выполнено условие (12), то решение уравнения (1) неустойчиво.
Доказательство. С помощью леммы 3 построим квадратичную форму , удовлетворяющую уравнению 
, и такую, что область для функции V непуста. Составим DV в силу уравнения (1). Имеем
.
Используя (12), как и при доказательстве теоремы 5, покажем, что если a достаточно мало, то при функция 
. Следовательно, так как в области 
, то при 
, 
имеем 
. Таким образом, выполнены все условия теоремы 4, откуда и следует, что нулевое решение уравнения (1) неустойчиво. Теорема доказана.
Список литературы
Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Сб. статей. Новосибирск: Наука, 1987.
М. Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.
Б. П. Демидович. Лекции по математический теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
И. Г. Петровский. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1964.
Ю. Н. Бибиков. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.
В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.
Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Изд. ФМЛ, 2001.
Похожие работы
... пакетах. Заключение Результатом выполнения курсового проекта является готовый программный продукт, позволяющий решать задачу Коши для системы дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка, демонстрирующий возможности численного решения поставленной задачи с заданной степенью точности. Готовый программный продукт может найти широкое применение при решении многих ...
... в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид: . В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе ...
... при финансовой поддержке государственной научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия». 1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных: ...
... была построена теория вложения функциональных пространств, которые в настоящее время носят название пространств Соболева. А.Н. Тихоновым была построена теория некорректных задач. Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и другие. Влияние на развитие ...
0 комментариев