Траектории автономных систем
Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий
Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
Устойчивость линейных однородных систем
Устойчивость периодических решений
Автономные системы на плоскости. Предельные циклы
Устойчивость по первому приближению
Экспоненциальная устойчивость
Теоремы второго метода Ляпунова
Устойчивость по первому приближению
Навигация
Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий
Устойчивость систем дифференциальных уравнений
43854
знака
0
таблиц
18
изображений
1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий.
2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя.
3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при 
к некоторому циклу.
4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории 
нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от , спиралевидно приближаются к при или при 
.
Пример. Рассмотрим автономную систему при 
:
Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения 
:
откуда получаем 
.
Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения 
и 
. При 
решения 
монотонно убывают от 
до 0, а при 
решения монотонно возрастают от до бесконечности. Так как 
, то отсюда следует, что при 
и 
все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, у которых 
. Если , то -предельное множество траектории пусто. Окружность является замкнутой траекторией и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия.
1.4. Траектории линейных систем на плоскости.
Рассмотрим автономную линейную однородную систему 
(3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и 
. В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду 
,
где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:
1) 
вещественны, различны и 
. В этом случае 
. Параметрические уравнения траекторий таковы: 
. Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими 
или 
. При 
и 
.
Картина расположения траекторий при 
, имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.
2) вещественны и 
. Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.
3) комплексно-сопряженные. Пусть 
. В преобразовании X = SY 
, где 
и 
— линейно независимые собственные векторы, соответствующие 
и 
. Так как А вещественна, и можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и 
. Положим 
, 
, а в качестве фазовой плоскости возьмем 
. Переменная 
связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где 
, 
. Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду
где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.
Введем полярные координаты 
, или 
, 
. Имеем: 
. Отделяя вещественные и мнимые части, получим:
.
Следовательно, 
. При 
траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При 
все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2/.
4) 
. Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду
Решением этой системы будет функция 
. В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы 
Рис. 1. Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел
Похожие работы
... пакетах. Заключение Результатом выполнения курсового проекта является готовый программный продукт, позволяющий решать задачу Коши для системы дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка, демонстрирующий возможности численного решения поставленной задачи с заданной степенью точности. Готовый программный продукт может найти широкое применение при решении многих ...
... в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид: . В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе ...
... при финансовой поддержке государственной научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия». 1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных: ...
... была построена теория вложения функциональных пространств, которые в настоящее время носят название пространств Соболева. А.Н. Тихоновым была построена теория некорректных задач. Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и другие. Влияние на развитие ...
0 комментариев