Траектории автономных систем
Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий
Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
Устойчивость линейных однородных систем
Устойчивость периодических решений
Автономные системы на плоскости. Предельные циклы
Устойчивость по первому приближению
Экспоненциальная устойчивость
Теоремы второго метода Ляпунова
Устойчивость по первому приближению
Навигация
Устойчивость периодических решений
Устойчивость систем дифференциальных уравнений
43854
знака
0
таблиц
18
изображений
2.3. Устойчивость периодических решений.
Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. 
, (4)
где 
. По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу 
, где 
— неособая -периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной, 
— жорданова матрица, собственные числа 
которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа 
, когда постоянна. Учитывая, что 
, где 
— мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:
Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.
Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:
Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения 
: 
, где 
. Поэтому можно сделать вывод, что при 
оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при 
мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при уравнение неустойчиво, а при оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.
2.4. Классификация положений равновесия системы второго порядка.
Исследуем на устойчивость положения равновесия линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть 
, где 
. Как было показано в пункте 1.4, тип особой точки такой системы определяется корнями характеристического уравнения 
или 
. Его корни можно найти по формуле
.
Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.
1) 
вещественны, различны и 
(
). Параметрические уравнения траекторий: 
. Положение равновесия называется узел. Если корни положительны (
), то решения будут неограниченно возрастать, и особая точка — неустойчивый узел.
Если 
отрицательны (
), то решения с ростом времени будут неограниченно уменьшаться, то есть положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Особая точка — устойчивый узел.
2) вещественны и 
(
). В этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно возрастать, а другая неограниченно уменьшаться. Таким образом, седло всегда неустойчиво.
3) комплексно-сопряженные, но не чисто мнимые (
). Решение в полярных координатах запишется в виде 
, где 
. Если 
(), то спирали будут раскручиваться от особой точки, и фокус будет неустойчивым.
Если 
(), то особая точка — устойчивый фокус, причем устойчивость асимптотическая.
4) 
(
). Особая точка — центр, траектории — окружности, то есть положение равновесия является устойчивым, но не асимптотически.
5) 
. Если 
, то получаем неустойчивый узел, либо вырожденный, либо дикритический. Если 
, положение равновесия будет асимптотически устойчивым.
6) Один из корней равен нулю (например 
). Траекториями являются прямые, параллельные друг другу. Если 
, то получаем прямую неустойчивых особых точек. Если , то прямая будет содержать устойчивые особые точки.
7) Оба корня равны нулю. Тогда 
. Особая точка неустойчива.
Пример. Рассмотрим систему 
. Положение равновесия находится из уравнения 
, или 
, откуда 
. Следовательно, положение равновесия — неустойчивый узел. Жорданова форма матрицы А имеет вид:
.
Найдем координаты преобразования 
, приводящего матрицу А к жордановой форме, то есть переводящего систему к виду 
. Дифференцируя эти уравнения и подставляя в исходную систему, получаем:
откуда с учетом 
, — произвольное, 
, — произвольное. Получаем преобразование 
. Определим новое положение осей:
Решение системы запишется в виде 
, а исходной системы отсюда 
. Схематическое изображение траекторий:
Рассмотрим теперь некоторые положения равновесия в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами, оно может иметь три вещественных или один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. В зависимости от расположения этих корней 
на плоскости 
возможно 10 "грубых" случаев (рис. 3, 1)-5) и 1')-5')) и ряд "вырожденных" (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня. Случаи кратных корней здесь не рассматриваются.
Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4. Случаи 1')-5') получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t, так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.
Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи 1')-5'), а также 2), 5), 8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.
Рис. 3. Собственные числа матрицы А. Закрашенным кружком отмечены ,
светлым — начало координат.
Рис. 4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.
Похожие работы
... пакетах. Заключение Результатом выполнения курсового проекта является готовый программный продукт, позволяющий решать задачу Коши для системы дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка, демонстрирующий возможности численного решения поставленной задачи с заданной степенью точности. Готовый программный продукт может найти широкое применение при решении многих ...
... в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид: . В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе ...
... при финансовой поддержке государственной научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия». 1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных: ...
... была построена теория вложения функциональных пространств, которые в настоящее время носят название пространств Соболева. А.Н. Тихоновым была построена теория некорректных задач. Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и другие. Влияние на развитие ...
0 комментариев