Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений

2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений.

2.1. Устойчивость по Ляпунову.

Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Предположим, что система при старте из начальной точки  порождает траекторию . Рассмотрим другую траекторию той же системы , стартовая точка которой близка к . Если обе траектории остаются близкими в любой последующий момент времени, то траектория  называется устойчивой по Ляпунову.

Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 2. Когда говорят просто об устойчивой траектории, то всегда имеется в виду устойчивость по Ляпунову.

Рис. 2. Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория остается в замкнутой области), по Пуассону (траектория многократно возвращается в -окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (две близкие на старте траектории остаются близкими всегда)

Рассмотрим уравнение (1)

где  и функция f удовлетворяет в G условию Липшица локально:

 и , где  — константа, не зависящая от выбора точек  и .

Предположим, что уравнение (1) имеет решение , определенное при , и что . Чтобы перейти к исследованию нулевого решения, выполним в (1) замену . В результате получим уравнение

, (2)

где  определена в области, содержащей множество . Это уравнение называется уравнением в отклонениях. Пусть  — решение (2) с начальными данными .

Определение. Решение  уравнения (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для , такое, что при  .

Решение  называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует  такое, что  при .

Неустойчивость решения  означает следующее: существуют положительное , последовательность начальных точек  при , и последовательность моментов времени  такие, что .

При исследовании вопроса об устойчивости решений часто прибегают к заменам переменных, позволяющим упростить вид рассматриваемого уравнения. Сделаем в (2) замену , где функция  определена при всех  и непрерывна по z при  равномерно относительно , причем . Пусть уравнение  однозначно разрешимо относительно z: , где  определена на множестве  и непрерывна по y при  равномерно относительно . Пусть уравнение (2) заменой  можно преобразовать в уравнение .

Лемма. При сделанных предположениях нулевое решение уравнения (2) устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво тогда и только тогда, когда соответственно устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво нулевое решение уравнения .

Пусть уравнение (2) автономно, а его нулевое решение асимптотически устойчиво. Множество  называется областью притяжения решения .

Похожие работы

Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

Скачать

39446

2

12

... пакетах.   Заключение   Результатом выполнения курсового проекта является готовый программный продукт, позволяющий решать задачу Коши для системы дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка, демонстрирующий возможности численного решения поставленной задачи с заданной степенью точности. Готовый программный продукт может найти широкое применение при решении многих ...

Решение систем дифференциальных уравнений

Скачать

10895

2

6

... в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид: . В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе ...

Асимптотика решений дифференциальных уравнений

Скачать

31319

15

25

... при финансовой поддержке государственной научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия». 1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных: ...

Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях

Скачать

32343

0

0

... была построена теория вложения функциональных пространств, которые в настоящее время носят название пространств Соболева. А.Н. Тихоновым была построена теория некорректных задач. Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и другие. Влияние на развитие ...