Ошибка выборочной средней

4.3.1. Ошибка выборочной средней

Ошибка выборочной средней представляет собой расхождение (разность) между выборочной средней и генеральной средней , возникающее вследствие несплошного выборочного характера наблюдения. Величина ошибки выборочной средней определяется как предел отклонения от , гарантируемый с заданной вероятностью:

где – гарантийный коэффициент, зависящий от вероятности , с которой гарантируется невыход разности за пределы ; – средняя ошибка выборочной средней.

Значения гарантийного коэффициента и соответствующие им вероятности приведены в табл.4.1. Обычно вероятность принимается равной 0,9545 или 0,9973, а при этом равно соответственно 2 и 3.

Таблица 4.1

Значения гарантийного коэффициента

Н.В.Смирнов, И.В.Дунин-Барковский. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. - М.: Наука, 1965. 512 с.

Стр.173

Средняя ошибка определяется как среднее квадратическое отклонение средней величины в генеральной совокупности (средней генеральной)

В математической статистике доказывается, что величина средней квадратической стандартной ошибки простой случайной повторной выборки может быть определена по формуле

где - дисперсия признака в генеральной совокупности.

Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых

Если все величины X_i имеют одинаковую дисперсию, то

Тогда дисперсия средней

Тогда средняя ошибка при определении средней

Между дисперсиями в генеральной и выборочной совокупностях существует следующее соотношение:

где – дисперсия признака в выборке.

Если n достаточно велико, то близко к единице и дисперсию в генеральной совокупности можно заменить на дисперсию в выборке.

Тогда средняя ошибка средней в генеральной совокупности может быть как среднее квадратическое отклонение средней величины в выборочной совокупности (средней выборочной)

Средняя ошибка выборочной средней

Значения средней ошибки выборки определяются по формуле

где – дисперсия в генеральной совокупности.

Между дисперсиями в генеральной и выборочной совокупностях существует следующее соотношение:

где – дисперсия в выборке.

Если n достаточно велико, то близко к единице и дисперсию в генеральной совокупности можно заменить на дисперсию в выборке.

При повторном отборе средняя ошибка определяется следующим образом:

где – средняя величина дисперсии количественного признака , которая рассчитывается по формуле средней арифметической невзвешенной

или средней арифметической взвешенной

где f_i – статистический вес.

Формулы расчета средней ошибки выборочной средней для различных, наиболее часто используемых способов отбора выборочной совокупности приведены в табл.4.2.

Таблица 4.2

Формулы расчета средних ошибок выборочной доли

и выборочной средней

где N – численность генеральной совокупности;

– межсерийная дисперсия выборочной доли;

r – число отобранных серий;

R – число серий в генеральной совокупности;

– средняя из групповых дисперсий выборочной доли;

– дисперсия признака x в выборке;

– межсерийная дисперсия выборочных средних;

– средняя из групповых дисперсий выборочной средней.

При бесповторном оборе с каждой отобранной единицей или серией вероятность отбора оставшихся единиц или серий повышается, при этом средняя ошибка выборочной средней уменьшается по сравнению с повторным отбором и имеет следующий вид:

для механического или собственно случайного бесповторного отбора

При достаточно большом объеме совокупности N можно воспользоваться формулой

для серийного бесповторного отбора равновеликих серий

При достаточно большом числе серий в генеральной совокупности R можно воспользоваться формулой

для типического отбора с бесповторным случайном отборе внутри групп, пропорциональном объему групп

.

Межсерийная дисперсия выборочных средних и средняя из выборочных дисперсий типических групп вычисляются следующим образом:

где – среднее значение показателя в j – й серии;

– дисперсия признака x в j – й типической группе;

n_j – число единиц в j –й типической группе.

И.Г.Венецкий, В.И.Венецкая. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. - М.: Статистика, 1974. 279 с.

Средние ошибки выборки при типическом методе отбора, пропорциональном объему групп и колеблемости признака в группе приведены в табл.3

Таблица 3

Формулы расчета средних ошибок выборочной средней

и выборочной доли при типическом методе отбора

где N_j – число единиц в j –й типической группе;

n_j – число отобранных единиц в j –й типической группе;

– выборочная дисперсия признака x в j – й типической группе

(дисперсия признака в выборке из j – й типической группы);

– выборочная дисперсия доли в j – й типической группе

(дисперсия доли в выборке из j – й типической группы);

– среднее квадратическое отклонение признака x в выборке из

j – й типической группе;

Средние ошибки выборки при комбинированной выборке с равновеликими сериями приведены в табл.4

Таблица 4

Формулы расчета средних ошибок выборки при комбинированной

выборке с равновеликими сериями

где - общее число единиц в отобранных сериях ( );

n - выбранное число единиц, подвергающихся обследованию, из отобранных

серий.

При многоступенчатом отборе на каждой ступени отбора может быть найдена своя средняя ошибка. При отборе, например, крупных групп из генеральной совокупности средняя ошибка выборки - ; при отборе мелких групп из крупных средняя ошибка выборки - ; при отборе отдельных единиц совокупности из мелких групп средняя ошибка выборки - . Если численность групп одинаковая, то средняя ошибка, как для средней, так и для доли, трехступенчатого отбора может быть определена по формуле

Предельная ошибка выражается следующим образом:

и зависит от вариации изучаемого признака в генеральной совокупности, объема и доли выборки, способа отбора единиц из генеральной совокупности и от величины вероятности, с которой гарантируются результаты выборочного наблюдения.

Средняя величина количественного признака в генеральной совокупности определяется с у четом предельной ошибки выборочной средней

Иногда для определения размеров предельной ошибки величина определяется из эмпирической формулы (И.Г.Венецкий, В.И.Венецкая. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. - М.: Статистика, 1974. 279 с. - стр.188)

Похожие работы

Показатели вариации, выборочное наблюдение

Скачать

49547

60

1

... будут находиться характеристики генеральной совокупности. 9. Формулы для расчета необходимого объема выборки. 10. Сущность теорем П.Л. Чебышева и А.М. Ляпунова. 11. Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность. 2.5. Тесты 1. Совокупность, из которой производится отбор единиц для выборочного наблюдения называется: а) выборочной; б) генеральной; ...

Методические указания и задания по дисциплине "Статистика. Часть 1"

Скачать

49021

47

0

... 1. Сущность и виды обобщающих статистических показателей. 2. Абсолютные статистические показатели, их значение в статистике и единицы измерения. 3. Виды относительных величин, техника их расчета и формы выражения. 4. Зависимость между относительными величинами динамики и планового задания. 5. Что выражают относительные величины структуры и координации. 6. Для характеристики каких ...

Статистика

Скачать

182859

46

6

... Таблица 1 Среднее значение интервала, тыс. грн Фактическое количество предприятий 16 9 20 45 24 16 28 24 32 18 36 12 40 6 Всего 100 Тесты для закрепления материала Тест 1 В статистике критерий Стьюдента обозначается: а)  критерий; б) ; в) критерий. Тест 2 Мощность критерия – это: а) вероятность отклонения испытуемой нулевой гипотезы, когда правильною является ...

Организация и проведение наблюдения

Скачать

62150

0

13

... учитывается по месту жительства, а не по месту работы [4, 6]. Наблюдение может проводиться собственными силами или организациями, специализирующимися на проведении наблюдений. Проводят наблюдение как органы государственной, так и ведомственной статистики. Рис.2. Органы, которые могут проводить наблюдение [1] В зависимости от особенностей объекта при организации статистического наблюдения ...