Классификация элементов симметрии молекулы
Групповые постулаты
Определение группы
Классы смежности и классы сопряженных элементов
Факторизация групп
База (базис) и размерность векторного пространства
Эвклидовы и унитарные пространства
Представления групп
Представления групп и модули
Представление алгебр и модули
Таблицы характеров неприводимых представлений
Найти всевозможные линейно независимые общие правые собственные векторы
Операторы проектирования
Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера
Навигация
Найти всевозможные линейно независимые общие правые собственные векторы
Теория симметрии молекул
74215
знаков
5
таблиц
9
изображений
5. Найти всевозможные линейно независимые общие правые собственные векторы.
6. Построить первую и вторую собственные матрицы Р и Q алгебры Боуза–Меснера В.
7. Исходя из выражения для матрицы Q по формуле из теоремы 1 определить таблицу характеров неприводимых представлений группы G. Для этого необходимо найти числа 
, где f12+f22+…+fd2=|G|=m1+m2+…+md. Числа m1, m2, …, md можно также найти по формуле Биггса
,
где ui=(p1(i)/k1, p2(i)/k2, …, pd(i)/kd); vi=( p1(i), p2(i), …, pd(i)).
Эти векторы получаются стандартизацией i-го столбца матрицы, причем 1=k1, k2, …, kd – числа элементов в классах сопряженных элементов группы G порядка |G|.
Примеры
1. На примере группы C3V покажем некоторые приемы и соображения, с помощью которых можно составить таблицу характеров неприводимых представлений. Характер тождественного представления c1(А1) записывается сразу.
Для составления характера c2(А2) воспользуемся перестановочным представлением S3 группы C3V. Подстановки, соответствующие элементам 
, 
, 
=1 – четные, остальные подстановки – нечетные. Так как произведение четных подстановок – четная подстановка, причем четные подстановки образуют подгруппу А3 группы S3, то четным подстановкам сопоставим число 1, а нечетным – число –1. Произведение нечетных подстановок – четная подстановка и (-1)(-1)=1, а произведение подстановок разной четности – нечетная подстановка и (-1)1=1(-1)=-1. Следовательно, мы получили одномерное представление группы C3V, в котором элементам 1, , сопоставляется 1 (эти элементы представляются четными подстановками), а остальным элементам 
, 
, 
сопоставляется –1 (или соответствуют нечетные подстановки). Так как одномерные представления совпадают с характерами, то получаем вторую строку таблицы. Третья строка таблицы получается из следующих соображений. В теории представлений группы известно, что число неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов. Поэтому группа C3V имеет три неприводимых представления. Известно также, что сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы. В рассматриваемом случае 12+12+Z2=6, т. е. Z=2. Следовательно, группа C3V имеет двумерное неприводимое представление, в котором
, т. е. c(1)=2 (см. табл. 2).
Остальные элементы строки c3 получаются из соотношений ортогональности для неприводимых представлений: 
и 
, где x, y – неизвестные числа из строки c3. Отсюда 2х+3y=-2, 2x-3y=-2, т. е. х=-1, y=0. Мы построили таблицу характеров неприводимых представлений, не зная двумерного неприводимого представления группы C3V.
2. Нахождение характеров неприводимых представлений группы S3.
Проиллюстрируем алгоритм нахождения характеров на примере групп S3.
Необходимо разложить все перестановки группы в произведении циклов. Элементы одинакового циклического строения образуют классы. Выпишем все перестановки группы S3:
; 
; 
; 
;
; 
.
При записи перестановок в циклах, если элемент i переходит в k, то k стоит не под i, а рядом с i; при этом цикле длины 1, кроме e=(1), не пишутся. Таким образом, в циклах e=(1); a=(1 2 3); a2=(1 3 2); b=(2 3); c=(1 3); d=(1 2).
В такой записи наглядно видно циклическое строение группы. Поэтому сразу находим все три класса сопряженных элементов группы S3:
K1={(1)}; K2={(1 2 3), (1 3 2)}; K3={(2 3), (1 2), (1 3)}.
Групповая алгебра CS3 группы S3 состоит из элементов
a=a1e+a2a+a3a2+a4b+a5c+a6d, (23)
где aiÎC; e, a, a2, b, c, d – шесть перестановок, образующих группу S3. Учитывая обозначения перестановок, запишем элементы групповой алгебры, являющиеся суммами элементов классов:
C1=e1; C2=a+a2; C3=b+c+d.
При построении таблицы Кэли группы S3 воспользуемся таблицей группового умножения группы C3V и запишем
=е; 
=а; 
=a2; =b; 
=c; 
=d.
Тогда таблица примет следующий вид.
Таблица 3
Квадрат Кэли группы S3
| S3 | e | a | a2 | b | c | d |
| e | e | a | a2 | b | c | d |
| a | a | a2 | e | d | b | c |
| a2 | a2 | e | a | c | d | b |
| b | b | c | d | e | a2 | e |
| c | c | d | b | a | e | a2 |
| d | d | b | c | a2 | a | e |
Таблица Кэли группы S3 определяет групповую алгебру CS3, в частности, позволяет умножать элементы a из выражения (23).
Переходя к составлению таблицы умножения базисных элементов центра Z групповой алгебры CS3, заметим, что элемент C1 является ее единицей, так что 
, i=1, 2, 3.
Найдем элемент 
:
=(а+а2)(а+а2)=а2+а3+а4=а2+2е+а=2е+а+а2=2С1+С2.
Далее находим :
=(b+c+d)(b+c+d)=b2+c2+d2+bc+bd+cb+cd+db+dc=3e+3a+3a2=3C1+3C2.
При этом мы воспользовались табл. 3. Заметим, что в силу принадлежности Ci центру алгебры 
, так что таблица будет симметричной относительно главной диагонали. Поэтому нам осталось найти C2C3:
C2C3=(a+a2)(b+c+d)=ab+a2b+ac+a2c+ad+a2d=d+c+b+d+c+b=2C3.
Используя полученные результаты, запишем таблицу умножения базисных элементов центра групповой алгебры группы S3 (см. табл. 4).
Таблица 4
Таблица умножения базисных элементов центра алгебры CS3.
| Z | C1 | C2 | C3 |
| C1 | C1 | C2 | C3 |
| C2 | C2 | 2C1+ C2 | 2C3 |
| C3 | C3 | 2 C3 | 3 C1+3C2 |
Запишем матрицы C(i):
; 
; 
. (24)
Эти матрицы получаются так. Например, действие элемента С(2) на остальные элементы можно представить следующим образом:
;
;
.
Записывая коэффициенты правой части в столбец, получаем С(2).
Мы построили матричное представление базисных элементов центра Z алгебры CS3, что позволяет получить и матричное представление центра этой алгебры.
Запишем характеристические уравнения для определения собственных чисел и собственных векторов матриц Ci в следующем виде (рассматриваем сначала общий случай d матриц Ci):
. (25)
Возвращаясь к случаю группы S3 получаем d=3, а коэффициенты 
можно найти из табл. 4 на основании выражения (24). При этом сначала зафиксируем индекс j, а индексы i и k будем менять, что позволяет разбить систему (25) на три подсистемы, соответствующие значениям j=1, 2, 3. Выпишем сначала 27 значений Cijk, разбитых на три группы, по 9 значений в каждой:
С111=1; С112=0; С113=0;
С211=0; С212=1; С213=0;
С311=0; С312=0; С313=1;
С121=0; С122=1; С123=0;
С221=2; С222=1; С223=0; (26)
С321=0; С322=0; С323=2;
С131=0; С132=0; С133=1;
С231=0; С232=0; С233=2;
С331=3; С332=3; С333=0;
Тогда находим следующие системы уравнений:
(27)
Подставляя в найденные системы уравнений (27) значения из выражений (26), получим
(1-х1) х1=0; - х2 х1+ х2=0; - х3 х1+ х3=0;
(1-х1) х2=0; (I) 2х1+(1-х2) х2=0; (II) - х2 х3+2х3=0; (III) (28)
(1-х1) х3=0; (1-х2) х3=0; 3х1+3х2-x32=0.
Обратим внимание на два обстоятельства.
1. Во всех трех системах находятся одни и те же неизвестные, стоящие вторыми сомножителями, т. е. вектор x=(x1, x2, x3) является общим собственным вектором всех матриц С(1), С(2), С(3).
2. Указанные системы можно получить, взяв матрицы (24), транспонировать их, рассмотреть разности C(1)-X1E, C(2)-X2E, C(3)-X3E и затем умножить полученные матрицы на столбец (x1, x2, x3)Т (знак Т обозначает транспонирование).
Заметим, что выше уже записаны уравнения для нахождения собственных векторов матриц C(i), однако в этих уравнениях фигурируют собственные значения этих матриц, которые необходимо найти. Для матрицы С(1) получаем трехкратное собственное значение, равное единице, поэтому находим собственные значения матриц С(2) и С(3). Запишем для них вековые уравнения:
; 
. (29)
Раскрывая определить третьего порядка, получаем
(l2-l-2)(2-l)=0; l1=l2=2; l3=-1; -l3-9l=0; l1=0; l2=3; l3=-3.
4. Находим теперь собственные векторы для рассматриваемых матриц. Для матрицы С(1) – это произвольный вектор x1(1)= (x1, x2, x3). Для собственного значения l=2 матрицы С(2) имеем
,
где x3 – любое. Сам вектор можно записать в виде x2(2)= (x1, x2, x3). Поскольку l=2 – двукратное собственное значение, то матрица С(2) имеет два линейно независимых собственных вектора с собственными значениями, равными 2, например, (1 1 0) и (0 0 1) (фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений).
Для l=-1 в случае той же матрицы находим
x2(-1)=(-2x2, x2, 0)=(2x2¢, -x2¢, 0); x2¢=-x2.
Для собственного значения l=0 матрицы С(3) получаем х3(0)=х2(-1), т. е. мы уже нашли общий собственный вектор матриц С(1), С(2), С(3).
Для l=3 в случае матрицы С(3) запишем x3(3)= (x1, x1, x1).
Для l=-3 той же матрицы С(3) получим x3(-3)= (x1, x1, -x1).
Таким образом, выполнили пункт 4 алгоритма для нахождения характеров неприводимых представлений конечных групп. Чтобы выполнить пункт 5, необходимо найти общие собственные векторы для всех матриц C(i), i=1, 2, 3. Один из них уже найден – это вектор x3(3)=(x1, x1, x1) приравнивается вектору x2(2)= (x1, x1, x3), откуда следует, что x3=x1. Получим второй общий собственный вектор. Соответствующие собственные значения для этого вектора запишем в виде (1, 2, 3).
Приравняем теперь векторы x3(-3)= (x1, x1, -x1) и x2(2)= (x1, x1, x3). Это дает x3=-x1, т. е. третьим общим собственным вектором рассматриваемых матриц будет вектор (x1, x1, -x1). Поскольку матрица С(3) имеет все различные собственные значения, то соответствующие собственные подпространства одномерны. Но так как у матриц С(2) и С(3) должны быть общие собственные векторы, это накладывает ограничения x3=-x1 для собственных векторов матриц С(2) вида x2(2), которые образуют двумерное собственное подпространство. Чтобы получить характеры неприводимых представлений, необходимо нормировать полученные общие собственные векторы, учитывая, что порядок группы S3 равен 6 и что числа элементов в классах сопряженных элементов образуют вектор (1, 2, 3). Умножив скалярно вектор x3(3)= (x1, x1, x1) на вектор (1, 2, 3) и разделив на 6, получим
; x1+2x1+3x1=6,
т. е. х1=1.
Таким образом, получаем первый характер х1=(1, 1, 1). Для вектора (x1, x1, -x1), умножая его скалярно на (1, 2, -3) и деля на 6, также получаем x1=1, что дает характер х2=(1, 1, -1). Наконец, для вектора (2х2¢, -х2¢, 0) получаем
, (30)
откуда х2¢=1.
Заметим, что скалярный квадрат вектора (2х2¢, -х2¢, 0) равен 4x2¢2+2x2¢2=6x2¢2, так как имеется два элемента в классе сопряженных
элементов K2={(1 2 3), (1 3 2)} – этим и вызвано появление множителя 2 в выражении (30). С другой стороны, этот множитель равен размерности неприводимого представления группы S3, так что x3=(2, -1, 0) есть характер двумерного неприводимого представления группы S3. Полученные результаты удобно записать в виде следующей таблицы.
Таблица 5
Характеры неприводимых представлений группы S3=C3V
| 1 | 2 (1 2 3) | 3 (1 2) | |
| c1 c2 c3 | 1 1 2 | 1 1 -1 | 1 -1 0 |
| l(1) l(2) l(3) | 1 1 1 | 2 2 -1 | 3 -3 0 |
Таблица 5 – это известная таблица характеров неприводимых представлений группы S3 (см. табл. 2), только в нижней части ее указаны собственные значения матриц C(1), C(2), C(3), которые дают общие собственные векторы этих матриц.
Составив табл. 5, одновременно нашли первую и вторую собственную матрицу P и Q. Матрица, стоящая внизу в таблице, - это первая собственная матрица. Вторую собственную матрицу Q можно получить из соотношения PQ=QP=|G|E или найти с использованием общих правых собственных векторов-матриц Ci. Матрица Q имеет вид (рядом указана транспонированная матрица)
; 
.
В соответствии с теоремой 1 таблица характеров неприводимых представлений группы S3 находится по формуле
.
Здесь m1=1; m2=1; m3=4, поэтому
,
где в правой части находится таблица неприводимых характеров группы S3, приведенная в верхней части табл. 5.
Похожие работы
... , а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии. 2. 2.2.Симметрия кристаллов. Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, ...
... : правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или надев ...
... требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - ...
... ), и ее вклад в теплоемкость равен 1. Вращательная теплоемкость многоатомных газов. Свободную энергию многоатомного газа, как и двухатомного, можно представить в виде суммы трех частей — поступательной, вращательной и колебательной. Поступательная часть характеризуется теплоемкостью и химической постоянной, равными: Благодаря большой величине моментов инерции многоатомных молекул (и ...
0 комментариев