Классификация элементов симметрии молекулы
Групповые постулаты
Определение группы
Классы смежности и классы сопряженных элементов
Факторизация групп
База (базис) и размерность векторного пространства
Эвклидовы и унитарные пространства
Представления групп
Представления групп и модули
Представление алгебр и модули
Таблицы характеров неприводимых представлений
Найти всевозможные линейно независимые общие правые собственные векторы
Операторы проектирования
Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера
Навигация
Классы смежности и классы сопряженных элементов
Теория симметрии молекул
74215
знаков
5
таблиц
9
изображений
1.3 Классы смежности и классы сопряженных элементов
Пусть G – группа, H – ее подгруппа.
Определение 1. Всякое множество Hg (т. е. совокупность всех элементов hg, где h пробегает H, g – фиксированный элемент группы G) называется правым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично определение левого смежного класса gH.
Каждый элемент смежного класса называется его представлением. Так, элемент g – представитель класса Hg, поскольку из-за наличия в группе Н единицы е группы G элемент g=egÎHg.
Будем считать подгруппу H первым правым смежным классом. В результате группу G можно представить в виде объединения правых смежных классов:
Hg1+Hg2+…+Hgm=G (3)
Выражение (3) называется правосторонним разложением группы G по подгруппе H.
Рассмотрим пример. В группе C3V выберем подгруппу {
, 
}={}2, считая ее первым правым смежным классом. Возьмем элемент 
и по таблице Кэли группы C3V найдем второй правый смежный класс {, }={, 
}. Элемент 
не входит в оба класса, и с помощью его получаем третий правый смежный класс {, }={, 
}. Таким образом, правостороннее разложение группы C3V по подгруппе {}2 имеет вид
C3V={, }+{, }+{, }. (4)
Аналогично левостороннее разложение группы C3V по подгруппе {}2 имеет вид
C3V={, }+{, }+{,}. (5)
Существенно, что левостороннее разложение (5) не совпадает с правосторонним разложением (4).
Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G является делителем порядка группы G.
Теорема Лагранжа облегчает нахождение подгруппы группы G. Надо искать подгруппы группы G не любых порядков, а порядков, равных делителям порядка группы G. Например, группа C3V имеет порядок 6, а у числа 6 делителями являются числа 1, 2, 3, 6. Мы уже нашли подгруппы группы C3V, имеющие приведенные порядки – это подгруппы {}, {
}, {}3={, , } и сама C3V. Подчеркнем, что если число m является делителем порядка группы G, то отсюда не следует, что в группе G есть подгруппа порядка m, т. е. теорема, обратная теореме Лагранжа, не имеет места.
Определение 2. Элементы а и b группы G называются сопряженными, если существует элемент х из группы G такой, что выполняется равенство
a=x-1bx (6)
Например, в группе C3V согласно таблице Кэли этой группы, имеем 
=-1=
, поэтом элементы и 
сопряжены с помощью элемента .
С помощью понятия сопряженности можно дать классификацию элементов группы G. Обозначим через Kg1, Kg2, …, Kgt все классы сопряженных элементов. Всю группу G можно представить в виде
Kg1+ Kg2+ …+ Kgt=K1+K2+…+Kt=G, (7)
где Kgi=Ki; i=1, 2, …, t – непересекающиеся классы сопряженных элементов.
Найдем эти классы для группы C3V. Очевидно, что единица сама является классом сопряженных элементов, ибо всегда 
=. Обозначим этот класс R1. Второй класс сопряженных элементов – это {, }, поскольку не сопряжено с и , а других возможностей нет. С помощью таблицы Кэли проверяется, что третий класс сопряженных элементов есть {
, 
, 
}, в итоге
C3V= K1+K2+K3={}+{, }+{, , } (8)
Похожие работы
... , а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии. 2. 2.2.Симметрия кристаллов. Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, ...
... : правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или надев ...
... требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - ...
... ), и ее вклад в теплоемкость равен 1. Вращательная теплоемкость многоатомных газов. Свободную энергию многоатомного газа, как и двухатомного, можно представить в виде суммы трех частей — поступательной, вращательной и колебательной. Поступательная часть характеризуется теплоемкостью и химической постоянной, равными: Благодаря большой величине моментов инерции многоатомных молекул (и ...
0 комментариев