Классификация элементов симметрии молекулы
Групповые постулаты
Определение группы
Классы смежности и классы сопряженных элементов
Факторизация групп
База (базис) и размерность векторного пространства
Эвклидовы и унитарные пространства
Представления групп
Представления групп и модули
Представление алгебр и модули
Таблицы характеров неприводимых представлений
Найти всевозможные линейно независимые общие правые собственные векторы
Операторы проектирования
Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера
Навигация
Факторизация групп
Теория симметрии молекул
74215
знаков
5
таблиц
9
изображений
1.4 Факторизация групп
Пусть дана группа G и два подмножества M и N множества G.
Определение 1. Произведением подмножеств М и N группы G называется множество MN, состоящее из всевозможных произведений mn, где m пробегает множество M, а n – множество N.
Теорема 1. Произведение АВ двух подгрупп А и В группы G будет подгруппой группы G, если А и В перестановочны, т. е. если АВ=ВА.
Рассмотрим примеры. В группе C3V перемножим подгруппы {
}3 и {
}2. Используя таблицу Кэли для C3V, получаем, что C3V факторизуема: C3V={}3 {}2. По таблице Кэли группы C3V находим {}2{
}2={
, , 
, 
}. Но это не подгруппа группы C3V. Следовательно, согласно теореме должно выполняться неравенство {}2{}2¹{}2{}2. Действительно, перемножая, получим
{}2{}2={, 
, , }.
Определение 2. Группа G называется прямым произведением подгруппы А и В, если элементы подгрупп А и В перестановочны: ab=ba, "aÎA, "bÎB и каждый элемент gÎАВ однозначно представляется в виде произведения g=ab. Обозначается прямое произведение подгруппы как G=A´B.
Определение 3. Подгруппа Н группы G называется циклической, порожденной элементом h, если все ее элементы являются степенями элемента h. Если же сама группа G совпадает со своей циклической подгруппой, то она называется циклической группой.
Элементом симметрии называется вспомогательный геометрический образ, характеризующий циклическую группу преобразования симметрии.
Теорема 2. Каждая конечная абелева группа G является прямым произведением конечных циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел.
Определение 4. Множество элементов a, b, c… группы G называется системой образующих групп G, если каждый элемент группы может быть представлен в виде произведения степеней элементов указанного множества
akblcm…=g.
Например, для циклической группы {}3 образующим элементом или генератором группы является элемент . У группы C3V два образующих элемента: и , в чем можно убедиться, рассматривая факторизацию C3V={}3´{}2.
Определение 5. Соотношения вида
apbqcr…=e,
связывающие образующие элементы группы G, называются ее определяющими соотношениями.
Совокупность всех образующих элементов и определяющих соотношений, полностью описывающих группу, называется генетическим кодом группы.
Например, группа {}3 задается одним образующим элементом и одним определяющим соотношением 
=. Группа C3V задается двумя образующими и и определяющими соотношениями между ними вида
=, 
=, = (9)
Последнее соотношение после умножения его на можно записать в стандартном виде =. Именно способом задания группы объясняется обозначение группы C3V, так как операции симметрии и при определенных соотношениях между ними определяют группу C3V. Чтобы получить таблицу Кэли группы C3V, надо было пользоваться геометрической моделью молекулы NH3. Зная же систему (9) определяющих соотношений, можно, например, найти, чему равно 
, если известно произведение 
. В самом деле, так как =, то умножая справа на 
, имеем 
=. Факторизация группы также значительно облегчается при задании группы с помощью генетического кода. Например, в полупрямом произведении C3V={}3´{}2 соотношение = задает автоморфизм группы {}3, так как является ее образующим элементом. Поэтому, пользуясь тем, что автоморфизм переводит произведение элементов в произведение их образов, получаем уже автоматически
=====.
Знание автоморфизма нормального делителя и элементов групп H и F определяет полупрямое произведение, т. е. факторизацию группы.
Глава 2 Введение в теорию представлений групп симметрии молекул
2.1 Векторные (линейные) пространства
1. Модуль и векторное пространство
Определение 1. Кольцом называется множество K, в котором определены операции сложения и умножения и выполняются аксиомы:
1. Относительно сложения кольцо является абелевой группой, т. е. в аддитивной записи операций имеют место условия (для всех a, b, c Î K):
a+b=b+a – коммутативность (абелевость) сложения;
(a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативность сложения;
a+0=0+a=a – существование нулевого элемента;
a+(-a)=(-a)+a=0 – существование противоположного элемента.
2. Умножение связано со сложением аксиомами дистрибутивности:
(a+b)c=ac+bc; c(a+b)=ca+cb.
3. Умножение ассоциативно:
(ab)c=a(bc).
Определение 2. Полем называем коммутативное по умножению кольцо, в котором каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент, т. е. такой элемент a-1, что 
, где е – единица кольца.
Определение 3. Левым модулем над кольцом K называется абелева группа по сложению М, для которой определены произведения kmÎM для всех kÎK и mÎM, причем выполняются аксиомы:
1) k(m1+m2)=km1+km2;
2) (k1+k2)m=k1m+k2m;
3) (k1k2)m=k1(k2m)
для любых m, m1, m2ÎM и k, k1, k2ÎK.
Если в кольце K есть единицы (что мы предполагаем), то выполняется еще аксиома
4) em=m
для любого mÎM.
Аналогично определяются правые модули, в которых произведение записывается в виде mk. Модуль одновременно левый и правый называется двусторонним модулем, будем называть его просто «модулем».
Определение 4. Модуль над полем P называется векторным, или линейным пространством над полем Р.
Определение 5. Подмножество M1 левого модуля М над кольцом K называется подмодулем модуля М, если (m1+m2)ÎM1 для всех m1, m2ÎM1 и kmÎM1 для всех kÎK и mÎM1.
Определение 6. Подмодуль векторного пространства называется подпространством векторного пространства.
Похожие работы
... , а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии. 2. 2.2.Симметрия кристаллов. Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, ...
... : правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или надев ...
... требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - ...
... ), и ее вклад в теплоемкость равен 1. Вращательная теплоемкость многоатомных газов. Свободную энергию многоатомного газа, как и двухатомного, можно представить в виде суммы трех частей — поступательной, вращательной и колебательной. Поступательная часть характеризуется теплоемкостью и химической постоянной, равными: Благодаря большой величине моментов инерции многоатомных молекул (и ...
0 комментариев