Классификация элементов симметрии молекулы
Групповые постулаты
Определение группы
Классы смежности и классы сопряженных элементов
Факторизация групп
База (базис) и размерность векторного пространства
Эвклидовы и унитарные пространства
Представления групп
Представления групп и модули
Представление алгебр и модули
Таблицы характеров неприводимых представлений
Найти всевозможные линейно независимые общие правые собственные векторы
Операторы проектирования
Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера
Навигация
Определение группы
Теория симметрии молекул
74215
знаков
5
таблиц
9
изображений
3. Определение группы
Определение 2. Множество G называется группой, если в этом множестве определена бинарная алгебраическая операция, удовлетворяющая следующим аксиомам (в мультипликативной записи операций):
1. Для всех элементов a, b, c из множества G 
(аксиома ассоциативности).
2. Для всех элементов а из множества G существует элемент e из этого множества, такой, что 
(е называется единичным элементом группы).
3. Для каждого элемента а для множества G существует элемент а-1 из этого из этого множества, такой, что 
(а-1 называется обратным элементом к элементу а).
Рассмотрев таблицу Кэли для множества C3V, можно убедиться, что множество операций симметрии молекулы аммиака является группой относительно введенной нами операции умножения в этом множестве.
Определение 3. Подмножество H группы G называется подгруппой группы G, если H само является группой относительно операции, введенной в группе G.
Для проверки того, что H является подгруппой группы G, надо проверить два условия: произведение двух элементов из Н снова принадлежит Н и вместе с элементом h обратный к нему элемент из группы G (он должен существовать) также принадлежит Н. В самом деле, тогда 
; ассоциативность же умножения, будучи верной во всей группе G, будет иметь место и в подгруппе Н.
Теорема 1. Множество всех операций симметрии молекулы является группой. Эта группа является подгруппой симметрической группы перестановок фигуры, изображающей геометрическую модель молекулы.
Определение 4. Группой симметрии молекулы называется множество S всех операций симметрии молекулы, на котором введена структура группы относительно умножения операций симметрии молекулы.
4. Гомоморфизмы и изоморфизмы
Определение 5. Отображение множества М в множество N – это правило f, по которому каждому элементу m из множества M ставится в соответствие однозначно определенный элемент mf=n из множества N.
Определение 6. Гомоморфизмом группы G в группу G¢ называется отображение j множества G в множество G¢ такое, что
(1)
В качестве примера рассмотрим группу C3V и группу {-1}2, состоящую всего из двух элементов {-1}2={-1, 1}.
Построим отображение j группы C3V в группу {-1}2 (записываем это в виде j: C3V®{-1}2) по следующему правилу: элементам 
, 
, 
сопоставим 1, а элементам 
,
, 
сопоставим -1. Отображение j построено, причем, как видим, у элемента 1 группы {-1}2 есть три прообраза, т. е. три элемента группы C3V, образом каждого из которых является 1: у элемента –1 также три прообраза – это не запрещено определением отображения.
Покажем теперь, что j есть гомоморфизм. Из таблицы Кэли группы C3V видно, что произведение любых двух элементов множества C3={, , } принадлежит этому же множеству, в то же время 
. Из этой таблицы видно, что 
, i, j=1, 2, 3 принадлежит множеству C3, но с другой стороны, 
. Наконец, произведения 
и 
, i, j=1, 2, 3 принадлежат множеству 
, с другой стороны 
, 
. Таким образом для любых двух операций симметрии 
и 
из множества C3V получаем, что 
, где 
, 
, 
есть 1 или –1, т. е. отображение j, действительно есть гомоморфизм.
Определение 7. Отображение f множества М в множество N называется взаимно однозначным отображением множества М на множество N, если каждый элемент множества N является образом в точности одного элемента множества M.
Определение 8. Две группы G и G¢ называются изоморфными (обозначение G@G¢), если существует взаимно однозначное отображение q группы G на группу G¢ такое, что
(2)
Свойства группы или других математических объектов, сохраняющиеся при изоморфизме, называются структурными свойствами. Приведем два примера структурных свойств групп, которым предшествуют два важных определения.
Определение 9. Если группа G содержит конечное число элементов, то число n элементов группы называется порядком группы и обозначается n=|G|.
Например, |C3V|=6; |{-1}2|=2.
Определение 10. Группа называется абелевой или коммутативной, если для всех элементов a и b этой группы выполняется равенство ab=ba.
Так, группа {-1}2 является абелевой, а группа C3V не абелева.
Теорема 2. Если две конечные группы G и G¢ изоморфны, то их порядки равны.
Теорема 3. Если G – абелева группа и G@G¢, то и G¢ - абелева группа.
Теорема 4. Каждая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок и некоторой группе матриц.
Приведем пример. Пронумеруем элементы группы C3V в виде =1; =2; =3; 
=4; =5; =6. Используя таблицу Кэли группы C3V, запишем
.
Далее, получим, используя правило умножения перестановок. Ясно, что
.
Аналогично получаем остальные четыре перестановки искомой группы: , 
, , . Мы получили другое выражение группы C3V: ее представление в виде группы перестановок.
Похожие работы
... , а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии. 2. 2.2.Симметрия кристаллов. Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, ...
... : правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или надев ...
... требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - ...
... ), и ее вклад в теплоемкость равен 1. Вращательная теплоемкость многоатомных газов. Свободную энергию многоатомного газа, как и двухатомного, можно представить в виде суммы трех частей — поступательной, вращательной и колебательной. Поступательная часть характеризуется теплоемкостью и химической постоянной, равными: Благодаря большой величине моментов инерции многоатомных молекул (и ...
0 комментариев