Деформации при изгибе

10.3. Деформации при изгибе

10.3.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня. Его получают из выражения (10.4), учитывая, что для уравнения изогнутой оси

 z = z (x) кривизна может быть выражена соотношением:

kappa = 1/ro = (d2z/dx2) /[1 + (dz/dx) **2]**1.5 .

Поскольку в общем случае изгибающий момент M (x) и момент инерции Jy (x) переменны по длине стержня, уравнение изогнутой оси имеет вид:

 (d2z/dx2) /[1 + (dz/dx) **2]**1.5 = M (x)/E*Jy (x) . (10.13)

Для малых прогибов стержня величиной dz/dx = tet - углом поворота стержня пренебрегают и получают приближенное уравнение изогнутой оси стержня при изгибе:

d2z/dx2 = M (x)/E*Jy (x) . (10.14)

10.3.2. Определение деформаций. Большинство методов определения деформаций при изгибе сводится к интегрированию уравнения (10.14), а при необходимости высокой точности результатов - (10.13) с учетом граничных условий. Решения для стержней, нагруженных сосредоточенной силой (рис. 10.8), моментом (рис.10.9), равномерной нагрузкой (рис. 10.10), дают следующие выражения (при Jy = const) :

для силы P

(z)max = - P*l**3/ (3*E*J) ; (tet) max = P*l**2/ (2*E*J) ; (10.15)

для момента M

(z)max = M*l**2/ (E*J) ; (tet) max = - M*l/ (E*J) ; (10.16)

для распределенной нагрузки

(z)max = - q*l**4/ (8*E*J) ; (tet) max = q*l**3/ (6*E*J) . (10.17)

Деформации при сложном нагружении стержня можно представить как сумму деформаций от распределенных нагрузок, сосредоточенных сил и моментов, причем реактивные силы и моменты в опорах рассматривают наравне с другими внешними силовыми факторами.

10.4. Продольный изгиб и устойчивость стержня.

10.4.1. Потеря устойчивости. У продольно сжатых стержней может наступить потеря устойчивости - катастрофическое нарастание деформаций и последующее разрушение под воздействием сил, которые настолько малы, что разрушения от сжатия произойти не может. Это происходит тогда, когда ось стержня имеет первоначальное искривление, или продольная сила действует с эксцентриситетом - появляется изгибающий момент, который разрушает стержень (рис.10.11) .

Уравнение продольного изгиба:

E*J* (d2z/dx2) = M (x) = - P*z . (10.18)

Решение этого уравнения при k = (P/E*J) **0.5 :

z (x) = C1*cos (k*x) + C2*sin (k*x) . (10.19)

Из граничных условий z = 0 при x = l следует: C1 = 0, k*l =

 = pi*n, где n = 1, 2, 3 ... Из (10.19) получают выражение для критической силы, вызывающей потерю устойчивости:

 (P)кр = E* (J)min* (pi*n/l) **2 . (10.20)

Для n = 1 получают минимальное значение критической силы (P) кр; если ввести промежуточные опоры по длине стержня, можно получить (P) кр при n = 2, 3 и т.д. (рис.10.12) .

10.4.2. Приведенная длина стержня. Влияние закрепления концов на устойчивость учитывают с помощью коэффициента приведения длины mju (рис.

 10.13) . В зависимости от характера закрепления концов на длине стержня возникает различное число полуволн синусоиды, что и учитывает коэффициент mju. Поэтому критическая сила

 (P)кр = (pi) **2* (E*J) min/ (mju*l) **2 . (10.21)

10.4.3. Гибкость стержня. Формула (10.21) справедлива, пока выполняется закон Гука, т.е. пока критическое напряжение в стержне не превышает предела пропорциональности (sig) пц :

(sig) кр = (P) кр/S = pi**2* (E*J) min/[S* (mju*l) **2 =

= pi**2*E/lam**2 <= (sig) пц, (10.22)

где lam = mju*l/i - гибкость стержня; i = (Jmin/S) **0.5 - наименьший главный радиус инерции сечения стержня.

Предельная гибкость стержня, при которой наступает потеря устойчивости:

 (lam) пр >= pi*[E/ (sig) пц]**0.5 . (10.23)

Если lam меньше этого значения, стержень разрушается от сжатия, потери устойчивости не будет. Считают, что для пластичных материалов (sig) кр = (sig) т, для хрупких (sig) кр = (sig) в, если lam < (lam) пр.

10.4.4. Расчет устойчивости. Для оценки устойчивости рассчитывают гибкость стержня lam, и если lam > (lam) пр, определяют критическую силу (P) кр по формуле (10.21), (sig) кр по формуле (10.22) .

Условие устойчивости: (sig) у = (sig) кр/nу, где nу = 1.8 - 3.2 коэффициент запаса по устойчивости.

Глава 11. Контактная прочность. Прочность при переменных нагрузках и сложных видах нагружения.

11.1. Контактная прочность деталей.

11.1.1. Общая характеристика. При контактировании поверхностей, из которых одна или обе криволинейны (теоретически контакт происходит по линии или в точке), возникают контактные напряжения и контактные деформации. Их определяют методами теории упругости, считая, что в контактной зоне образуется в общем случае эллиптическая площадка малых размеров, давление на которой распределяется также по закону эллипса (рис. 11.1) :

q (x,y) = qm*[1 - (x/a) **2 - (y/b) **2]**0.5, (11.1)

где qm - давление в центре площадки с полуосями a и b.

11.1.2. Напряжения в зоне контакта. Значение sig можно найти из условий равновесия:

P = int{int[sig (x,y) *dx*dy]} ; (sig) max = 1.5*P/ (pi*a*b) . (11.2)

Размеры полуосей контакта:

a = alf*[P* (ro) пр/ (E)пр]** (1/3) ;

b = bet*[P* (ro) пр/ (E)пр]** (1/3),

где (ro) пр - приведенный радиус кривизны контактирующих поверхностей (рис.11.2) ; (E) пр - приведенный модуль упругости:

(ro) пр = 4/ (1/ro11 + 1/ro12 + 1/ro21 + 1/ro22 ) ;

(E)пр = (8/3) /{[1 - (nju1) **2]/E1 + [1 - (nju2) **2]/E2} . (11.3)

E1 и E2, nju1 и nju2 - соответственно модули упругости и коэффициенты Пуассона для материалов контактирующих поверхностей; ro11 и ro21, ro12 и ro22 - наибольшие и наименьшие радиусы кривизны.

Коэффициенты alf и bet зависят от взаимной ориентировки главных радиусов кривизны ro11 и ro21 и приведены в справочниках.

Для контакта двух шаров с радиусами R1 и R2 :

 (sig) max = 0.578*| P* (1/R +- 1/R) **2/{[1 - (nju1) **2]/E1 +

+ [1 - (nju2) **2]/E2} |** (1/3) . (11.4)

Для цилиндрических поверхностей с параллельными образующими и длиной контактной линии l

 (sig) max = 0.564*| P* (1/R +- 1/R) **2/l{[1 - (nju) **2]/E1 + [1 - (nju2) **2]/E2} |** (1/3) . (11.5)

11.1.3. Проверака контактной прочности. Материал в зоне контакта находится в состоянии всестороннего сжатия, поэтому допускаемые напряжения при расчете контактной прочности выше, чем предел прочности при одноосном сжатии (sig) c в 1.5 - 1.8 раза. Для различных материалов допустимые напряжения (sig) кp приведены в справочниках.

Похожие работы

Проектирование и технология радиоэлектронных средств

Скачать

53101

5

15

... . Всё вышеуказанное объединяется в ёмкое понятие CAE - Computer AidedEngineering. Специфические характеристики и различия между проектированием, производством и применением микросистем по сравнению с традиционными (макро) реализациями вытекают из их размеров. Микросистемная технология непригодна для производства опытных образцов. Если схема производства для массового производства по групповой ...

Разработка конструкции и технологии изготовления измерителя емкости

Скачать

65704

6

2

... ; ·  транзисторы; ·  разьемы; 4)  пайка 5)  очистка ПП; 6)  маркировка; 7)  контроль; 8)  настройка. Разработанная технология сборки приведена в приложении. Заключение В результате работы над курсовым проектом была разработана конструкция прибора измерителя емкости, которая полностью отвечает современным эргономическим, массогабаритным и функциональным требованиям, а также другим ...

Акустоэлектрические преобразователи. Принципы работы. Особенности конструкции и использования

Скачать

45476

1

15

... т.е. для защиты источника от утечки информации, требуется нарушение энергетических и временных условий существования канала утечки путем использования различных по физическим принципам средств защиты. Технические характеристики акустопреобразовательного канала Акустоэлектрический преобразователь-устройство, преобразующее электромагнитную энергию в энергию упругих волн в среде и обратно. В ...

Автоматизация проектирования радиоэлектронной аппаратуры

Скачать

29890

0

0

... операции в процессе производства РЭА; е) значительно расширить класс принципиально осуществимых по сложности проектов, как, например, устройств на БИС и т. д. Основной целью создания систем автоматизации проектирования РЭА, представляющих собой сложные человеко-машинные комплексы, является эффективное использование характерных особенностей каждой стороны, участвующей в процессе разработки РЭА ...