ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА

1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА.

Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом свойств, соответствующих целям его использования.

В теории систем существенным является не физическое, а математическое описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом А является абстрактный объект, связанный с множеством свойств, который обычно характеризуется числами или набором чисел. Таким образом, фактически абстрактный объект или просто объект представляет собой множество переменных вместе с отношениями между ними.

Вспомогательные определения и понятия:

v₁, v₂,...- основные переменные объекта А.

Основное уравнение - соотношение между основными переменными.

(1) A⁽¹⁾(v₁,..., v_n)=0 Основное уравнение объекта A,

A⁽²⁾(v₁,...., v_n)=0 где A^(j), j=1,..., m

.....................  v_i  , i= 1,..., n

A^(m)(v₁,..., v_n)=0 m и n - конечные числа

Если абстрактный объект A определяется соотношениями (1) без каких - либо указаний, какие переменные являются входными (причина), а какие - выходными (следствия), то A будем называть неориентированным объектом.

Если основные переменные подразделены на две группы - входные и выходные переменные, играющие роль независимых и зависимых, то A будет называться ориентированным объектом.

Состояние объекта A в момент t₀ может рассматриваться как параметр S(t₀), связанной с каждой парой вход-выход

(U_{[t0, t]}, Y_{[t0, t]}), таким образом, что Y_{[t0, t]} единственным образом определяется заданием U_{[t, t]} и S(t₀).

Иначе говоря, состояние объекта в момент t₀ есть некоторый набор чисел, представленный, например, вектором α, который изменяется в пространстве ∑ так, что знание (1)α, (2) - уравнения вход-выход для объекта и (3) - входа U_[t0,t]] является достаточным для однозначного определения входа y_[t0,t].

 S(t₀) - называется состоянием объекта в момент t₀.

[t₀,t]- интервал наблюдаемости

УРАВНЕНИЕ ВХОД-ВЫХОД-СОСТОЯНИЕ.

Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения [t₀,t] - переменная в пространстве ∑, R[U], R[y]- пространство входа и выхода.

(2) y(t)=A (α;U_[t0,t]) ∀ t>t₀

где A- функция α и U_[t0,t]

U и у принадлежат R[U], R[у]

Уравнение (2) является уравнением вход-выход состояния. Символьная форма записи вход - выход - состояние.

(2') у_[t0,t]=A (α,U), где

черта над A служит для того, чтобы отличить у(t) и у_[t0,t]

Следовательно пара U_[t0,t],у_[t0,t] удовлетворяет уравнению

вход - выход - состояние (2), если U_[t0,t] и у_[t0,t] составляют

пару вход-выход по отношению к некоторому α в ∑.

В соответствии с уравнением (2') можем записать:

R[y]= { A(α,U)│ α∈∑, U∈ R[U] }

Условия взаимной совместимости:

 Каждая пара вход-выход для удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2')

Более детально: (1) если (U_[t0,t],у_[t0,t]), или проще (U,у) является любой парой функции времени (при U∈R[U], у∈R[y]),

удовлетворяющих уравнению А(U,y)=0, то (U,y) удовлетворяет также и (2') в том смысле, что существует α₀ в ∑ такое, что

(3) у= A (α₀,U_[t0,t]),

и (2) любая функция времени (U,y), удовлетворяющая уравнению (2') для некоторого α, принадлежащего ∑ на интервале наблюдения [t₀,t], является парой вход-выход для A.

Первое условие собственной совместимости:

Для того, чтобы множество ∑ могло называться пространством состояний A , оно должно иметь следующее свойство: если дана любая точка α в ∑ (которую мы назовем состоянием A в момент t₀) и любой вход U_[t0,t] в пространстве входов A, то выход в момент t однозначно определяется значением α и U_[t0,t], и не зависит от значений U и y в момент времени, предшествующий t₀, т.е. для всех t₀ реакция y(t) в любой момент времени t>t₀, однозначно определяется заданием α и U_[t0,t].

Это свойство является ключевым в понятии состояния. Второе условие собственной совместимости.

 Если уравнения вход - выход-состояние удовлетворяется при подстановке пары (U_[t0,t],у_[t0,t]), тогда оно удовлетворяется при подстановке всех пар вида (U_[t,t1], у_[t,t1]), где t₀<t≤t₁, а U_[t,t1]  и у_[t,t1] являются сегментами U_[t0,t], и у_[t0,t] соответственно. Это должно выполняться для всех α и ∑ и всех пар вход-выход, относящихся к α.

Пусть (UU',yy') - пара вход-выход, удовлетворяющая уравнению вход - выход-состояние (2') при α=α₀. Тогда можно записать: yy'= A (α₀,UU'), где U',y' вход и выход на интервале [t,t₀]

Утверждение, что (U',y') удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2'), будет эквивалентно утверждению, что существует не пустое множество Q значений α в ∑, при которых выражение y=A(α;U') удовлетворяется для всех α в Q.

Тогда в качестве состояния объекта A в момент t может быть принято любое состояние α в Q_t (α₀,U) при α₀-состояние в момент t₀ или, что тоже самое, начальном состоянии A.

Состояние A в момент времени t будет обозначаться S(t).

Когда будет необходимо показать, что S(t₀) является начальным состоянием объекта A, уравнение вход - выход-состояние будет записываться в виде:

(4) y(t)= A(S(t₀);U_[t0,t])

S(t₀) и, в более общем случае S(t) изменяются в пространстве состояний ∑, т.е. для каждого фиксированного значения t, R[S(t)]=∑.

Если выполнены условия совместимости, то можно утверждать, что состояние S(t) однозначно определяется состоянием S(t₀) и входом U_[t0,t] и что функциональная зависимость S(t) от S(t₀) и U_[t0,t] может быть получена из уравнения вход - выход-состояние:

 y(t)= A( S(t₀); U_[t0,t]), где α₀=S(t₀) (4)

 Выражение S(t) как функция S(t₀) и U_[t0,t] называется уравнением состояния объекта.

(5) S(t)= S (S(t₀);U_[t0,t]), где

 S- функция со значением в ∑.

Уравнение (5) производное от уравнения вход - выход-состояние (4).

Природа пространства состояний ∑ объекта является одной наиболее важных его характеристик. Если ∑ есть континуум, то будем говорить, что А есть объект с непрерывным пространством состояний.

Если ∑ есть счетное множество, A будет называться объектом с дискретным пространством состояний.

Если ∑ есть конечное множество, то А есть объект с конечным пространством состояний.

Вероятностные или стохастические объекты- объекты в которых для каждого t y(t) является случайной переменной. Для таких объектов уравнения вход-выход- состояние (4), заменяется уравнением вход-выход- распределение состояний, которое определяет вероятностную меру в пространстве y_[t0,t] как функцию начального состояния S(t₀) и входа U_[t0,t] .

Графическое представление систем.

U₁ у₁ U₁ S у₁

U_к у_к U_к у_к

Представление объекта в виде блок-диаграмм

Похожие работы

Математичекие основы теории систем: анализ сигнального графа и синтез комбинационных схем

Скачать

30399

31

10

... D=1- W3W4(W1W5W6+ W7+ W1W8+ W2W6 W7+ W2W7+2W2W8+ 1)+ W5W6(W3W4(W7+ W1W5W6+ W2W7+ W2W8+1)-1)   Для x1 Для x4 Для y Для х13 Задание 2. Синтез комбинационных схем. 2.1 Определение поставленной задачи Устройство, работа которого может быть представлена на языке алгебры высказываний, принято называть логическим. Пусть такое устройство имеет n ...

Основы теории систем и системный анализ

Скачать

71710

1

1

... противоположные подходы, но нельзя считать ни один из них "юридически законным" или вытекающим из каких ни будь законов природы, нельзя считать стиль управления системой на основе системного анализа "правильным", "современным", "куль-турным". Другое дело — не знать о возможности применения системного подхода к вопросам управления — вот это неправильно, некультурно. Пример системного подхода ...

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Скачать

38497

0

12

... в момент t, образует пространство выхода системы. Множество всех значений, которые может принять вектор состояния x в момент t, образует пространство состояний системы. 3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений В любой момент времени t состояние системы является функцией начального состояния x(t0) и вектора входа m(t0, t), то есть x(t)=F[x(t0); m(t0; t)], ...

Математические основы информатики

Скачать

41359

0

6

... Рассела и во многом базируется на работе Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхэда «Principia Mathematica» (этот фундаметальный трёхтомник математической логики до сих пор не издан на русском языке)[8]. Заключение Прародителем информатики является кибернетика, основанная американским математиком Норбертом Винером, опубликовавшим в 1948 году одноименную книгу. Основоположником ...