Если всех t ⌡ A(Ʈ)dƮ и A(t) коммутативны, то

1. Если всех t ⌡ A(Ʈ)dƮ и A(t) коммутативны, то

t₀

t

Ф(t,t₀)= exp ⌡ A(Ʈ) dƮ

t₀

Пусть Ф(t,t₀) переходная матрица для (11),определяемой выражением (14), тогда:

t

 (17) det Ф(t,t₀)= exp ⌡ a(Ʈ) dƮ  , где

t₀

n

a(Ʈ) ≜ ∑ a_iƮ(Ʈ) ≜ trA(Ʈ).

i=1

2. Законченное решение позволяет получить формула интерполяции Лагранжа-Сильвестра. Она применима к матричным функциям, которые могут быть представлены в виде (сходящихся) степенных рядов.

∞

f(A)=  ∑  C_iAⁱ ,где

 0

 матрица А с n отличающимися друг от друга собственными значениями соответствующих формуле интерполяции Лагранжа для аппроксимации функций с помощью многочленов. Матрица перехода Ф=exp{At} представляет такой степенной ряд

n

(18) Ф(t)= e^At= ∑  e^ℷitF_i , где

 i=1

n

F=П (A-ℷ_iI)/(ℷ_i-ℷ_j)

j=1

j≠i

3. Применение преобразования Лапласа к однородному дифференциальному уравнению вида q=Aq, позволяет получить формулу, похожую на формулу Сильвестра, которую можно использовать не только для случая с простыми корнями.

∞

(19) Ф(t)= e^At≜ ∑ Aⁱtⁱ/i!= I+At+A²t²/2!+...

 i=1

Эта формула особенно пригодна для аналитических исследований.

4. С помощью преобразования подобия матрица с n совершенно различными корнями ℷ_i может быть приведена к диагональной матрице Л.

Решение относительно А дает.

(20) A= KЛK^-1 ,где

К - матрица собственных векторов, K≜[K₁,K₂,...,K_n], согласно выводу из теории матриц имеет:

 для двух подобных матриц А и, Л соответствующих уравнению (20), справедливо

f(A)=Kf(Л)K^-1

(21) Ф(t)=Ke^ЛtK^-1

причем, если известны корни ℷ_i, сразу можно записать матрицу exp{Лt}

 e^ℷ1t......0

e^Лt=

 0......e^ℷnt

Рассмотренные способы дают решение в аналитическом виде и требуют больших затрат времени на определение собственных значений матрицы А, т.е. корней характеристического уравнения. В приведенных ниже способах оба этих момента отсутствуют.

5 При расчете матрицы перехода с помощью формулы Тейлора из (19)

p-1

(22) Ф(t)= ∑  Aⁱ tⁱ/t!+R_p

i=0

в системах с сосредоточенными параметрами для отдельных элементов матриц получим полиномы в функции t, которые могут быть записаны в виде сумм показательных функций e.

6. Путем программирование на аналоговой вычислительной машине элементы матрицы перехода могут быть получены в виде кривых, численно оценены или аналитически аппроксимированы.

Модуль вход-выход непрерывного объекта управления в форме векторно-матричного дифференциального уравнения

вектор входа U=[U₁, U₂,...,U_m]^T

вектор выхода x=[x₁,x₂,...,x_m]^T

вектор состояния q=[q₁,q₂,...,q_m]^T

Уравнение состояния (векторное дифференциальное уравнение)

(23) q(t)= Aq(t)+Bu(t)

Уравнение входа

(24) x(t)= Cq(t)+Du(t)

Для одномерной системы n-го порядка эти уравнения упрощаются:

(25) q(t)=Aq(t)+bu(t)

(26) x(t)=C^Tq(t)+du(t)

(27) q₁ = a₁₁ a₁₂ q₁ + b₁ U; при n=2

q₂ a₂₁ a₂₂ q₂ b₂

(28) x=|C₁ С₂| q₁ + dU

q₂

Таким образом, векторное дифференциальное уравнение (25) служит компактной формой записи для системы из n скалярных дифференциальных уравнений первого порядка

(29) q = a₁₁q₁+a₁₂q₂+b₁U;

q = a₂₁q₁+a₂₂q₂+b₂U.

Уравнение входа для одномерной системы представляет собой скалярное алгебраическое уравнение

(30) x= c₁q₁+c₂q₂+dU

 ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ.

Прежде всего нужно определить выходной сигнал x_v(t), соответствующий входному сигналу U_v(t)

(31) U_v(t)=U(V)dV δ(t-V)

U(V)dV - площадь импульса

δ(t-V)- единичный импульс при t=V

Соответствующий этому выходной сигнал представляет реакцию на импульсное воздействие, или соответственно весовую функцию g(t-V), характеризуемую импульсами площадью U(V)d .

Если уравнения системы представлены в стандартной форме записи (23), (24), то можно использовать общую форму решения уравнения переходного процесса:

 t

(32) q(t)= Ф(t)q(0)= ⌡ Ф(t-Ʈ) BU(Ʈ)dƮ= q_св(t)+q_прн(t)

 0

В рассматриваемом здесь случае переходного процесса при

возмущающем воздействии и нулевых начальных условиях для выраженного в относительных единицах входного сигнала U_δ

U_δ(t)=δ(t)

получим характеристику состояния в относительных

t

(33) q_δ(t)= ⌡ Ф(t-Ʈ) bδ(Ʈ) dƮ

0

Для импульса δ(Ʈ), возникающего в момент времени Ʈ=0, интервал интегрирования должен быть принят от -0

 Ф(t)b , при t≥0

(34) q_δ(t)=

 0, при t<0

Весовую функцию находят путем подстановки (34) в уравнение выхода (26)

(35) q(t)=x_δ(t)=C^Tq_δ(t)+dU_δ(t)= C^TФ(t)b+dδ(t) при t≥0

Для определения элементарного выходного сигнала x_δ(t), соответствующего уравнению (31), нужно учесть еще смещение входного импульса по времени и его интенсивность (площадь).

(36) x_v(t)=U(V) dV g(t-V)=U(V) dV[C^TФ(t-V)b+dδ(t-V)]

U(t)=U(V)dV δ(t-V)

U

x(t)=U(V)dVq(t-V)

V Ʈ=t-V

t

Элементарный входной и выходной сигналы при разложении на импульсы.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА.

Пусть система A линейна и стационарна и пусть h(*) является ее импульсной реакцией.

Предположим, что существует преобразование Лапласа для h. Тогда это преобразование

 ∞

(37) H(S) ≜ ⌡ e^-st h(t) dt

-∞

называется передаточной функцией H системы A.

Передаточная функция является оператором, характеризующим передачу сигнала линейным передаточным звеном, путем умножения которого, на изображении входного сигнала получается преобразованный

входной сигнал звена, имевшего до этого рабочую точку q=0.

В случае системы со многими входами и выходами передаточная функция становится матричной передаточной функцией H(S);

ее (i,j)- представляет собой преобразование Лапласа для h_ij(t), т.е. для установившегося режима i-го выхода на единичный импульс, приложенный к j-му входу в момент t=0.

Пусть - линейная стационарная система, и пусть H(S)- ее передаточная функция. Если y является реакцией системы при нулевом состоянии на входе воздействия U, то

(38) Y(S)= H(S) V(S)

где Y и V - преобразования Лапласа для y и U.

Передаточная функция H(S) идентична весовой функции g(t), преобразованной по Лапласу.

Похожие работы

Математичекие основы теории систем: анализ сигнального графа и синтез комбинационных схем

Скачать

30399

31

10

... D=1- W3W4(W1W5W6+ W7+ W1W8+ W2W6 W7+ W2W7+2W2W8+ 1)+ W5W6(W3W4(W7+ W1W5W6+ W2W7+ W2W8+1)-1)   Для x1 Для x4 Для y Для х13 Задание 2. Синтез комбинационных схем. 2.1 Определение поставленной задачи Устройство, работа которого может быть представлена на языке алгебры высказываний, принято называть логическим. Пусть такое устройство имеет n ...

Основы теории систем и системный анализ

Скачать

71710

1

1

... противоположные подходы, но нельзя считать ни один из них "юридически законным" или вытекающим из каких ни будь законов природы, нельзя считать стиль управления системой на основе системного анализа "правильным", "современным", "куль-турным". Другое дело — не знать о возможности применения системного подхода к вопросам управления — вот это неправильно, некультурно. Пример системного подхода ...

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Скачать

38497

0

12

... в момент t, образует пространство выхода системы. Множество всех значений, которые может принять вектор состояния x в момент t, образует пространство состояний системы. 3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений В любой момент времени t состояние системы является функцией начального состояния x(t0) и вектора входа m(t0, t), то есть x(t)=F[x(t0); m(t0; t)], ...

Математические основы информатики

Скачать

41359

0

6

... Рассела и во многом базируется на работе Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхэда «Principia Mathematica» (этот фундаметальный трёхтомник математической логики до сих пор не издан на русском языке)[8]. Заключение Прародителем информатики является кибернетика, основанная американским математиком Норбертом Винером, опубликовавшим в 1948 году одноименную книгу. Основоположником ...