Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в ШКМ

1.3 Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в ШКМ

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики. И этот курс предполагает задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя целенаправленную специальную подготовку.

Анализ школьных учебников по математике в полной степени определяет место тригонометрических уравнений и неравенств в линии изучения уравнений и линии изучения неравенств.

Изучению темы «Решение тригонометрических уравнений» часто предшествует изучение таких тем как «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций». В разделе «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» мы знакомим учащихся с понятиями арксинус, арккосинус, арктангенс.

Опыт преподавания математики показывает, что осознание важности изучаемого материала приходит к ученикам не в процессе его изучения, а в процессе его применения при решении других заданий, т.е. тогда когда он становится средством для решения других задач.

Так, например, решение уравнения , сводится к простейшему уравнению , причём частному виду простейшего, после элементарного преобразования выражения, стоящего в левой части уравнения по формулам сложения косинуса. Аналогичная ситуация может возникнуть и при решении тригонометрических неравенств. Неравенства вида , в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, , а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство , решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.

 Мы видим, что именно здесь школьники могут наблюдать пользу от изучения формул тригонометрии. С их помощью нерешаемое на первый взгляд уравнение или неравенство принимает достаточно простой и, главное знакомый вид. Примерно то же самое происходит и при решении тригонометрических неравенств.

При таком подходе изучения тригонометрии, когда уравнения и неравенства изучаются после формул преобразования тригонометрических выражений, место тригонометрических уравнений и неравенств определяется через систематизацию знаний по темам «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций».

Если же тригонометрические уравнения и неравенства изучаются до темы «Преобразование тригонометрических выражений», то здесь место их изучения определяется совершенно противоположным образом. Здесь на изучение тригонометрических уравнений отводится больше времени: как только появляется новая формула, она сразу же используется для решения уравнений или неравенств. То есть в данном случае не формула преобразования является средством для решения тригонометрического уравнения или неравенства, а уравнение выступает как средство закрепления тригонометрических формул.

Таким образом, при любом подходе к изучению тригонометрии, роль изучения уравнений и неравенств неизмеримо велика, не зависимо от места их изучения. Ну и как следствие из этого велико и неизмеримо место изучения методов решения и тригонометрических уравнений и тригонометрических неравенств. Т.к. авторы учебников не уделяют должного внимания обозначению методов решения тригонометрических уравнений и неравенств, попробуем классифицировать уравнения и неравенства, и соответственно методы их решения.

1.4 Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

Материал, относящийся к тригонометрии, изучается не единым блоком, учащиеся не представляют себе весь спектр применения тригонометрического материала, дробление на отдельные темы приводит к тому, что тригонометрия изучается в течение нескольких лет.

Необходимость классификации уравнений и неравенств вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Очевидно, что классифицировать тригонометрические уравнения и неравенства имеет смысл с опорой на методы их решения. Мы будем рассматривать типы уравнений и неравенств в той последовательности, которая представляется нам наиболее приемлемой для обучения школьников, то есть в последовательности, построенной в соответствии с принципом «от простого к сложному».

1.4.1 Уравнения, сводящиеся к простейшим

Практически все тригонометрические уравнения считаются «сводящимися к простейшим», но можно выделить ряд уравнений которые сводятся к простейшим достаточно просто. Рассмотрим сначала виды простейших уравнений.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида: , , , .

На эти уравнения следует обратить особое внимание, так как без умения их решать невозможно решить никакое другое тригонометрическое уравнение. Лучше всего, если учащиеся будут иметь схемы решения каждого из простейших уравнений

Уравнение вида .

Если , то

Если , то (рис 1, а)

Особые случаи:

;

;

;

Любая из этих формул может быть заменена формулой общего вида, однако они проще и их выгоднее применять при решении уравнений.

Полезно помнить, что при ; ;

.

Уравнение вида .

Если , то

Если , то (рис 1, д)

Особые случаи:

;

;

;

Нужно помнить, что при  ;

;

.

Уравнение вида .

(рис 1, и)

Нужно помнить, что при  ; ;

Уравнение вида .

(рис 1, к)

Нужно помнить, что при  ; ;

;

Уравнения, сводящиеся к простейшим, имеют вид , , , .

Данные уравнения также являются простейшими и решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х.

Примеры:

1. ;

2.

3.

1.4.2 Уравнения, являющиеся равенством двух одноимённых тригонометрических функций:

а) уравнения вида равносильно совокупности уравнений:

б) уравнения вида равносильно системе уравнений:

в) уравнения вида равносильно системе уравнений:

Примеры:

1.  Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

1.4.3 Тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного и того же аргумента и решаемые методом подстановки

Уравнения данного вида , где  тригонометрическая функция часто называются сводящимися к квадратным и решаются методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента некоторого параметра t с учётом допустимых значений t в зависимости от области значения функции.

Пример: Решите уравнение:

Пусть тогда уравнение примет вид:

Оба корня уравнения удовлетворяют условию допустимого значения t, следовательно, переходим к обратной замене.

 [29]

Похожие работы

Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа

Скачать

73526

4

6

... комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. § 3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа: ü Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями ...

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Скачать

98604

5

19

... проведении исследования были решены следующие задачи: 1)  Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: ·в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональных уравнений, в основном ...

Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы

Скачать

90068

3

1

... курс «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций» Глава II. Разработка элективного курса «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций» §1. Методические основы разработки элективного курса   Пояснительная записка. Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и ...

Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы

Скачать

108758

0

1

... учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа. Описание методов. Диагностические: I этап. Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10Є классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала ...