Этапы развития тригонометрии как науки
Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках
Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в ШКМ
Однородные уравнения
Тригонометрические неравенства и методы их решения
Метод интервалов
Основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств
Группу составляют тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на определениях и некоторых свойствах тригонометрических функций
Решение неравенства с помощью круга
Учащиеся не уделяют должного внимания определению области применимости некоторых формул и правил;
Сравнение результатов тестирования до и после эксперимента позволяет представить их в графической форме
Навигация
Тригонометрические неравенства и методы их решения
Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа
89437
знаков
1
таблица
28
изображений
1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения
1.5.1 Решение простейших тригонометрических неравенств
Большинство авторов современных учебников по математике предлагают начать рассмотрение данной темы с решения простейших тригонометрических неравенств. Принцип решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных тригонометрических углов, но и других значений.
Между тем, решение неравенств вида 
, 
, 
, 
можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток (
), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: (
). При этом значение 
находится легко, т.к. 
или 
. Поиск же значения 
опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.
Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений.
Изучение данной темы осуществляем таким образом:
1. Строим графики 
и у = а, считая, что 
.
Затем записываем уравнение 
и его решение 
. Придавая n 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: 
. Значения 
являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков и у = а. очевидно, что всегда на интервале (
) выполняется неравенство , а на интервале () – неравенство .
Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства 
в виде: 
; а во втором случае – решение неравенства в виде: 
2. Далее проводим аналогичные рассуждения для косинуса
Только в отличие от синуса из формулы 
, являющейся решением уравнения 
, при n = 0 получаем два корня 
, а третий корень при n = 1 в виде 
. И опять являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков 
и 
. В интервале () выполняется неравенство , в интервале () – неравенство 
Теперь нетрудно записать решения неравенств и . В первом случае получим: ;
а во втором: .
Подведём итог. Чтобы решить неравенство или , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни 
и 
, и записать ответ неравенства в виде: .
При решении неравенств , из формулы корней соответствующего уравнения находим корни 
и 
, и записываем ответ неравенства в виде: .
Данный приём позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, т.к. этот приём полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие и находить значение переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приёмы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа a и его знака. Да и сам процесс решения неравенства становится кратким и, что очень важно, единообразным.
Ещё одним из преимуществ данного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса.
Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить неравенство 
. Составим соответствующее уравнение и решим его: 
Найдём значения и .
При n = 1 
При n = 2 
Записываем окончательный ответ данного неравенства:
или
.
В рассмотренном примере решения простейших тригонометрических неравенств недостаток может быть только один – наличие определенной доли формализма. Но если всё оценивать только с этих позиций, то тогда можно будет обвинить в формализме и формулы корней квадратного уравнения, и всех формул решения тригонометрических уравнений, и многое другое.[11]
Предложенный метод хоть и занимает достойное место в формировании умений и навыков решения тригонометрических неравенств, но нельзя и преуменьшать важность и особенности других методов решения тригонометрических неравенств. К таковым относится и метод интервалов.
Рассмотрим его сущность.
Похожие работы
... комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. § 3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа: ü Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями ...
... проведении исследования были решены следующие задачи: 1) Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: ·в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональных уравнений, в основном ...
... курс «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций» Глава II. Разработка элективного курса «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций» §1. Методические основы разработки элективного курса Пояснительная записка. Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и ...
... учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа. Описание методов. Диагностические: I этап. Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10Є классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала ...
0 комментариев