Основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств

2.1 Основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств

В методической литературе существуют различные трактовки понятия «умения». Например, Петровский А.В. под «умениями» понимает способность использовать имеющиеся данные, знания или понятия, оперировать ими для выявления существенных свойств вещей и успешного решения определенных теоретических или практических задач.[22]

По мнению Булыгиной Т.Б. «умения – это способность осознанно выполнять определенное действие».[32]

Матюхина М.В. дает следующее определение: «умение – сочетание знаний и навыков, которое обеспечивает успешное выполнение деятельности». Навыки – это автоматизированные способы выполнения действий. Знания – это разновидность субъективных образов в сознании. Понятие – это форма знания, которая отражает единичное и особенное, являющееся одновременно и всеобщим.[6]

Рассмотрим следующее понятие – «формирование умений». Под ним понимается деятельность учителя, связанная с организацией усвоения определенного элемента социального опыта учеником.

Формирование умений – это овладение всей сложной системой операций по выявлению и переработке информации, содержащейся в знаниях и получаемой от предмета, по сопоставлению и соотнесению информации с действиями.

Формирование умений выступает, прежде всего, как продукт все углубляющихся знаний. Умения формируются на основе освоения понятий о различных сторонах и свойствах изучаемых объектов. Главный путь формирования умений – это приучение учащихся видеть различные стороны в объекте, применять к нему разнообразные понятия, формулировать в понятиях многообразные отношения этого объекта. Учащихся надо научить преобразовывать объект с помощью синтеза через анализ. Применяемые преобразования зависят от того, какие отношения и зависимости требуется установить. Схема таких преобразований и есть план решения задачи.

Научение умениям может осуществляться разными путями. Один из них заключается в том, что учащемуся сообщают необходимые знания, затем перед ним ставят задачи на их применение. И учащийся сам ищет решения, обнаруживая путем проб и ошибок соответствующие ориентиры, способы переработки информации и приемы деятельности. Этот путь называют проблемным обучением. Другой путь заключается в том, что учащихся обучают признакам, по которым можно однозначно распознать тип задач и требуемые для ее решения операции. Этот путь называют алгоритмизированным обучением или обучением на полной ориентировочной основе. Наконец, третий путь заключается в том, что учащегося обучают самой психической деятельности, необходимой для применения знаний. В этом случае педагог не только знакомит учащегося с ориентирами отбора признаков и операций, но и организует деятельность учащегося по переработке и использованию полученной информации для решения поставленных задач. Это достигается систематическим проведением учащегося через все этапы деятельности, требующей ориентировки на признаки, которые закреплены в изучаемом понятии. На первом этапе эти ориентиры (существенные признаки) предмета предъявляются ученику в готовом, материализованном виде, в виде схем, символа, предметов, а операции по выделению ориентиров осуществляются в форме предметных действий. На втором этапе ориентиры и предметные операции заменяются речевыми обозначениями и действиями. На третьем этапе отпадают и словесные действия, их заменяют мыслительные операции, которые протекают по все более свернутой схеме. Эту концепцию называют методикой поэтапного формирования умственных действий.[6]

Фактически эти этапы проходит каждый человек при формировании новых понятий. Однако при обычном обучении эти этапы не организуются сознательно. Поэтому ученик вынужден сам искать и обнаруживать нужные существенные или логические признаки, а главное – сам подбирать для этого действия. Неизбежно возникают ошибки. Понятия формируются не всегда полные и верные. Традиционное обучение, основанное на «самостоятельном» осмысливании и корректировке через результаты, является следствием неполноты ориентировочной деятельности ученика.

Причем деятельность ученика не должна сводиться к созданию понятий, нахождению их признаков, а к тому, чтобы наполнить сообщаемые понятия значением, то есть усвоить способы их использования, - это деятельность не по самостоятельному отыскиванию существенных признаков вещей, закрепленных в понятиях, а по применению этих признаков. Чтобы понятия формировались полно и безошибочно, соответствующая деятельность ученика должна строиться на полной ориентировочной основе. Иначе говоря, учитель должен давать ученику готовыми все существенные признаки объектов и обучать ребенка тем операциям, каких требует каждый из признаков для его выявления и воспроизведения.[30]

Говоря об умениях решать тригонометрические уравнения и неравенства, нужно иметь в виду, что эти умения образуют целый комплекс, в который среди прочих входят следующие:

- умения отыскать на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженных в долях числа  (, и т.д.) и не выраженных в долях числа  (М(2), М(-7), М(6) и т.д.);

- умение изображать числа точкой числовой окружности и надписывать точки (имеется в виду определять все числа, которые соответствуют данной точке);

- умение изображать числа на числовой окружности по значению одной из тригонометрических функций;

- составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности;[20]

- умение провести анализ предложенного уравнения или неравенства с целью получения оснований для отнесения уравнения к одному из известных видов;

- умение осуществить обоснованный выбор приема решения;

- умение решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства и иллюстрировать решение с помощью графика, тригонометрического круга;

- умение применять свойства тригонометрических функций при решении уравнений и неравенств;

- умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, которое, в свою очередь, предполагает умение применять приемы преобразований алгебраических выражений и соответствующие тригонометрические формулы;

- умение решать алгебраические уравнения определенных видов (линейные, квадратные, дробно-рациональные, однородные, сводящиеся к совокупностям алгебраических уравнений указанных видов) и др.[28]

Перечисленные умения формируются в течение длительного времени, рядом из них учащиеся должны владеть, приступая к изучению тригонометрических уравнений. Но рассмотрение приемов решения тригонометрических уравнений или неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Анализ программ по математике для средней школы, учет целей изучения тригон6ометрических уравнений и неравенств, а также обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, приводит к выводу, что указанные умения должны быть усвоены, по крайней мере, на уровне применения «в ситуации по образцу». Предложенные ниже методики предусматривает овладение учащимися умениями решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, и знакомство с приемами решения тригонометрических уравнений и неравенств других видов.[6]

2.2 Методика формирования у учащихся решать тригонометрические уравнения

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения рекомендуется выделить три этапа:

1. подготовительный,

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства,

3. введение тригонометрических уравнений и неравенств других видов и установление приемов их решения.

Цель подготовительного этапа состоит в том, чтобы, во-первых, начать формирование у школьников умения использовать тригонометрический круг или график функции для решения уравнения; во-вторых, познакомить учащихся с применением свойств тригонометрических функций для решения уравнений вида и т.п.; в-третьих, специально обратить внимание школьников на применение различных приемов преобразований выражений при решении тригонометрических уравнений.

Реализовать этот этап рекомендуется в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций. Основным средством могут служить задания, предлагаемые учащимся и выполняемые либо под руководством учителя, либо самостоятельно. Приведем примеры таких заданий:

1) найти все числа отрезка , для которых верно  и т.п.,

2) отметить на единичной окружности точки P_t, для которых соответствующие значения t удовлетворяют равенству и т.п.,

3) используя график функции , указать множество чисел, для которых верно

4) решить уравнения

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

5) решить уравнения:

а) ,

б) ,

в) .

Обратим внимание на два последних задания. В основе решения предложенных уравнений, как правило, – применение определений синуса, косинуса числа (либо таких свойств тригонометрических функций, как наличие корней, наличие экстремумов у функций синус и косинус). Выполнение пятого задания предполагает решение совокупностей тригонометрических уравнений рассматриваемого вида (например, последнее уравнение преобразуется следующим образом:  , то есть имеем совокупность уравнений или ). Следует специально обратить внимание учащихся на цель преобразований тригонометрических выражений при решении предложенных уравнений: замена данного выражения, тождественно ему равным и зависящим от одной тригонометрической функции, либо преобразование выражения в произведение линейных множителей относительно тригонометрических функций.

Реализация второго этапа обучения школьников решению тригонометрических уравнений, на котором происходит формирование умений решать простейшие уравнения, предполагает введение понятий «арксинус числа», «арккосинус числа» и т.д., получение общих формул решения простейших тригонометрических уравнений, формирование умений иллюстрировать решение простейших тригонометрических уравнений с помощью графика соответствующей функции или тригонометрического круга.

В настоящее время понятия арксинуса, арккосинуса числа и т.д. вводятся без обращения к функции, которая является обратной по отношению соответственно к функциям синус, косинус и т.д. В качестве основы введения указанных понятий используется так называемая теорема о корне. Указанная теорема применяется и для введения способа решения простейших тригонометрических уравнений. Это требует выделять в процессе получения формул, задающих множества их решений, несколько пунктов: 1) рассматривается промежуток, длина которого равна наименьшему положительному периоду функции, представленной в левой части уравнения и на котором определено понятие арксинуса, арккосинуса или арктангенса числа (в зависимости от предложенного уравнения); если эта функция – синус или косинус, то промежуток разбивается на два); 2) данное уравнение решается на каждом промежутке; основой решения служит теорема о корне, которая конкретизируется для соответствующей тригонометрической функции; 3) на основе свойства периодичности рассматриваемой тригонометрической функции делается вывод о том, что числа или (здесь - решение уравнения, принадлежащее выделенным промежуткам) являются решениями данного уравнения; этот вывод используется для получения формулы решений.

Рекомендуем предложить учащимся и другой способ получения формулы решений простейшего тригонометрического уравнения. Раскроем его суть, обратившись к решению уравнения  ( и ).

Так как , то данное уравнение обязательно имеет решения, одно из которых принадлежит промежутку . Обозначим его . Тогда . С учетом принятых обозначений данное уравнение приводим к виду: . Преобразуем левую часть уравнения в произведение:  ; это дает возможность заменить данное уравнение равносильной совокупностью простейших тригонометрических уравнений  или . Используя свойство функций синус и косинус (множество корней), получаем: или . Теперь осталось выразить через  (или ) и записать общую формулу для нахождения решений уравнения.

Предложим рекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся на втором этапе обучения решению тригонометрических уравнений. При этом будем ориентироваться на использование второго способа получения общей формулы решений простейшего тригонометрического уравнения.

Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема решения простейших тригонометрических уравнений можно, обратившись, например, к уравнениям , . Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенные уравнения к виду ; , но могут затрудниться в нахождении множества решений каждого из полученных уравнений. Указанных затруднений можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга), но и в этом случае остается открытым вопрос: нельзя ли получить общие формулы для записи множеств решений тригонометрических уравнений вида ,  ( и ),  (), которые дадут возможность сразу фиксировать искомые множества.

Во-вторых, следует обратить внимание учащихся, что получение общих формул для записи множеств решений уравнений указанного вида предполагает введение понятий арксинуса, их арккосинуса числа и т.д. Ввести эти понятия должен учитель, демонстрируя школьникам применение теоремы о корне к каждой из тригонометрических функций на определенном множестве. При этом целесообразно обратиться к графическому способу решения задачи о нахождении множества решений уравнения вида , ,  на промежутках ,  и  соответственно (решить такую задачу учащиеся могут самостоятельно).

В-третьих, следует провести работу по формированию у учащихся умений находить значения выражений вида , ,  при данных значениях . С этой целью полезно предложить учащимся задания типа

1) Вычислить: ;

2) Найти значение выражения: и т.п.

Учитель должен обратить внимание учащихся на способ выполнения каждого из заданий, дать соответствующий образец. В первом случае способ задается следующим предписанием: нужно найти такое действительное число , которое удовлетворяет двум условиям (укажем эти условия, имея в виду пример : это число принадлежит промежутку ; синус искомого числа равен , то есть  и . Способ выполнения второго задания основан на применении понятий «арксинус числа», «арккосинус числа» и т.д. и, возможно, тригонометрических тождеств. Особое внимание следует обратить на выполнение последнего примера этого задания.

В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание школьников на роль этих приемов при решении тригонометрических уравнений. Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:

1)Разложить на множители: .

2)Решить уравнение: . Выполнение учащимися приведенных заданий следует заключить выводом о том приеме, который лежит в основе решения данных уравнений: привести уравнение к виду , разложить левую часть на множители, воспользоваться условием равенства нулю произведения и заменить уравнение равносильной совокупностью уравнений, каждое из уравнений совокупности решить, используя факт о множестве корней соответствующей тригонометрической функции.

В-пятых, начать работу по введению способа решения простейших тригонометрических уравнений следует с постановки вопроса: при каких значениях параметра  уравнение вида  (,,) имеет (не имеет) действительного решения и почему. Выделение множества решений параметра, при которых указанное уравнение разрешимо в , дает основание для поиска способа его решения. Заметим, что в практике обучения школьникам достаточно разъяснить суть такого способа для одного из уравнений, например, , . При этом нужно лишь обратить внимание учащихся на то, что если мы заменим число значением функции синус некоторого аргумента, то данное уравнение сводится к уравнению, способ решения которого уже известен. Поэтому, по сути, большая часть работы, связанной с получением формулы решений рассматриваемого уравнения, может быть выполнена учащимися самостоятельно. Учитель выступает в роли консультанта и помогает школьникам сделать обобщения. Получение формул, задающих множества решений уравнений ,  целесообразно представить учащимся для самостоятельной работы.

В-шестых, от учащихся не рекомендуется требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического уравнения с помощью графика или тригонометрического круга. Но обратить внимание на ее целесообразность следует (в особенности на применение круга), так как в последующем при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства.

Последующее формирование у учащихся умений решать простейшие тригонометрические уравнения осуществляется в основном в процессе самостоятельного решения школьниками уравнений, среди которых – уравнения, приводящиеся к простейшим или их совокупностям после выполнения преобразований тригонометрических выражений. В список предлагаемых учащимся уравнений рекомендуем включить такие, которые сводятся к виду

и т.п.

Аналогичные задания могут служить средством контроля за сформированностью у учащихся умений решать простейшие тригонометрические уравнения.

В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения сделаем лишь два замечания.

Во-первых, знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических уравнений, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому уравнению = типичному представителю определенного вида совместный поиск (учитель – учащиеся) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие уравнения этого же вида  обобщение-вывод о характеристиках уравнений рассматриваемого вида и общем приеме решения этих уравнений.

Во-вторых, чтобы, с одной стороны, систематизировать знания учащихся о приемах решения тригонометрических уравнений, а с другой, продемонстрировать достаточную «условность» отнесения ряда уравнений к определенному виду, рекомендуем специально показать школьникам возможность применения различных приемов решения к одному и тому же уравнению. Для этого целесообразно обратиться к «хорошему уравнению, установить все те приемы, которые могут быть реализованы в процессе его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях, выделить прием, который в рассматриваемой ситуации оказывается наиболее рациональным.

В качестве такого «хорошего» уравнения можно предложить, например, следующее .

Это уравнение может быть приведено

1) к виду однородного относительно  и  

2) к квадратному относительно  с помощью универсальной подстановки

;

3) к простейшему тригонометрическому вида

после применения приема введения вспомогательной переменной.

Сравнение приемов решения уравнения в каждом из указанных случаев свидетельствует, что наиболее рациональным является приведение данного уравнения к простейшему тригонометрическому, так как процесс решения состоит из наименьшего числа операций, выполнение каждой из этих операций не может нарушить равносильность исходного и полученного уравнений, запись ответа более компактна.

В заключение приведем примеры тригонометрических уравнений, которые рекомендуем предложить учащимся для самостоятельного решения:

Похожие работы

Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа

Скачать

73526

4

6

... комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. § 3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа: ü Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями ...

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Скачать

98604

5

19

... проведении исследования были решены следующие задачи: 1)  Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: ·в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональных уравнений, в основном ...

Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы

Скачать

90068

3

1

... курс «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций» Глава II. Разработка элективного курса «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций» §1. Методические основы разработки элективного курса   Пояснительная записка. Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и ...

Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы

Скачать

108758

0

1

... учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа. Описание методов. Диагностические: I этап. Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10Є классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала ...