I (ol-i-x)c 6+Х-}
Экстремальные задачи в неполной средней школе
Л. Транспортная задача линейного программирования
Задача о рационе
Понятие о задаче нелинейного программирования
Понятие о краевых задачах
Приближенный метод решения краевых задач. Конечно-разностный алгоритм
Постановка простейшей задачи
Метод Эйлера в вариационной задаче
Алгоритм решения линейной вариационной задачи
Об одном подходе к решению нелинейных вариационных задач
Навигация
I (ol-i-x)c 6+Х-}
К решению нелинейных вариационных задач
57698
знаков
75
таблиц
8
изображений
77 i (ol-i-x)c 6+Х-}
^ Р f)
Решение- iQ^Lli&tl) = Q10- 4" y +-cl+o если сумма У ' ух
CL 4-6 .- ' /- /-
•—.-— +х принимает наименьшее значение и дробь будет наименьшей, т.е. при а,' & ^ у ^ у,2 ^ cl-u ^' Х^УЛ-о
• (о-^)^) х (а^ {лУ ) ( & г /аТ) /_ /^,2 ^ ^—— -- ————^у————— -(/^Ч&;
Итак, мы привели задачи, для решения которых использовали неравенство Коши для двумерного случая. Переходим к рассмотрению этой задачи в общем виде.
1.2. Соотношение между средними величинами. Определение экстремума суммы и произведения из неравенства Коши
Пусть имеется несколько неотрицательных чисел Ct^CLs.,, .., 0^. . Будем считать, что они пронумерованы в порядке возрастания, т.е. О/ ^О-л. ^ • ^ ^л- • Средней величиной для этих чисел называется всякое число О. , удовлетворяющее неравенствам и/ ^ й- ^ 0^ • Вообще говоря, средних величин имеется сколько угодно. Мы рассмотрим четыре средних величины, наиболее употребительные в математике:
1. Среднее арифметическое: /U = -°-^ ах- ^ •" +л>\- 0)
~t -L < П-
2. Среднее геометрическое: jl^ -•^ Q.^-CLa.-,„ ' Л^. (2)
3. Среднее гармоническое: ^ = ^ ^^..^ Уси (3)
4. Среднее квадратичное: /Ц -: \ О-^-ь О-а- +^•• -^ ^ (4) ^ v п-
Наша задача состоит из двух частей:
а) доказать, что числа А/г, Л. ^/ -^ -действительно средние величины для СЬ, О-а., - •-, 0^- ,
б) установить неравенства между ними.
В выражении (1) заменить все йс ( Lr// ^ • -, п-) самым наименьшим из них Л< ; получим М^ ^ Д< . В выражении (1) заменим все СШ наибольшим из них OLr^ ; получим -/У/ l^ Cin. .
Итак:
Аналогично доказываем неравенства:
а/ ^Н^ ^ (^ , а,^ ^ ^ а^ , а< ^ У^ ^ ^ .
Справедливы следующие неравенства:
^ ^ ^-^. ^-л^
^ ^УЧ^ - ^а/-с^-... •а^ '^ q^^^-^q^ ^ -
п-
и причем неравенство возможно только при (Xt •= 0-f. ^... ^ CU^. В случае ^-^2 - {07~а! ^ ^ ^g2- .
Мы уже это доказали, с общим доказательством можно ознакомиться по книге. Там же приводится доказательство
Я^ ^УЧ.2 , -Л^ ^-^
1.Если г\ = Ct-f ^-Ол-^-...+• ftn. , то максимальное значение О^-О.г,--^ достигается при ol< ^ CLa. s.. ^ ^. = ^ /^ ,
^(a,.cu-..-^)-^-^-...-^A-W.
2. Если Р= ^< • ds.' •.. ' Л^ , то минимальное значение (а^ <^^-" ^^'-у достигается при CUf Ол^'-- =" <2и. '= ^УР,
r^^ fo/+C?^+,„^Q^^ /Z-'lfP1.
Рассмотрим частную, но практически важную задачу. Задача 1
Найти прямоугольный параллелепипед с данным объемом \/~, чтобы сумма его изменений была наименьшей. Дано: а-гО^-й^^ У _^ .найти min. ( Qfi-Qii-Cts ) При СИ = 0^ - 0-5 = v^
rvuLn, ^С?/-ка,1+-^).=3' v \Г , т.е. ребра куба равны v Г .
Более подробное изложение приложений неравенств к элементарному определению экстремумов более подробно изложено в книгах .
1.3. Об экстремальных значениях квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен ^-=-а-х. +6-Jc.-f-c , а. ^ о, представим в виде: -У ^ а ( х-f- &/2а. ) 2 -f- ( с - ё г/^^) Возможно 2 случая:
О- -70 и ol^-o .
1. О. 70 , ^гъ У^ С - ао. ^и. ^^~°/2о. 2 clz.o, л^ах ^=- С- ^y^ci, г^/усс ж ^ - %cl
Примеры: / 9 ,
1) ^^•г- 6'зс -^/^^ te-з;^^ / ^•^ ^=^ ^с де^.
2) У---^^S^-У^-2(^--%):LS//^^CL)( У-^/Р п^с ^-Х
Рассмотрим частную задачу, которая играет ключевое значение в теории оптимизации.
Задача 2.
Даны числа Ci^, Ci^, ..., Ctn. . Найти число У такое, чтобы сумма / v2 / ,0 / ,2
^п.^ (х-а^)-(-(у-а^)-^,., ч-(^~с^)
имела наименьшее значение. S^ ^•K2-2•(Q^t-CL^-^<^)'X^(Oцi1-Q.^,„^ll^ )^
. ^. ( х- ^^-^) \А, ^ 'А-^^)^^^-^ rv^rv ^^А ^сс эс= ((^+(^f-,„^a^)/h. .
Здесь мы рассматривали лишь простейшие примеры решения задач, с более сложными задачами можно ознакомиться по литературе.
10
1.4. К решению экстремальных задач с применением производной
Введение изучения производной в школьный курс открыло возможности более глубокого изучения вопросов физики, рассмотрению прикладных задач. И задачи на экстремум функции начали рассматриваться с общей точки зрения. Например, нахождение экстремума трехчлена = а х2-/- ё х + с =T'fxJ рассматривается при помощи производной:
^= 2.dsei-e^0 ^ r&- -S/2а-критическая точка, при этом если у4. (^+^)^-2oi£>o ^ ^ (е-(-^) = 2ае^о, п^>
г^с^ У- У (- ^/2о.)^ иначе г^гъ У=^(~ wq,) .
В пункте 28 [1] хорошо изложены правила нахождения максимальных и минимальных значений функций.
Однако при решении некоторых задач применение элементарных способов более эффективно, чем применение производной. Например, задача № 367 решается очень просто элементарным способом:
Данное положительное число разложить на два слагаемых так, чтобы произведение было наибольшим.
Решение: Пусть U - данное число, а X - одно из слагаемых. Из условия ^а^ L X^-^J только при Y= О-- Х .находим Х= °-/S .Обобщение этой задачи, решаемое в вузовских курсах при помощи экстремума многих переменных следующее.
Задача 3. Положительно^число OL требуется разбить на П. неотрицательных слагаемых так, чтобы и произведение было наибольшим. Если <Х данное число, то ft слагаемые будут Я?у, ,„, Д?п-/ ; Ci-( Хг^-,„ч- ^.i). При этом произведение Лу- S?s. •,.,' Хц^' L О. -(х/ ч- ,„ ^ ЗСл.^ ) 3 достигает максимума при Эрг ^ Хл = ,„ = X^.f ^ CL ~ {'У-f -+,., -<• Хп - /) . Отсюда у,-= Ci-fn-()Vf ц ^= ^/п ,т.е. все слагаемые равны ^/г. . А решение этой задачи при помощи экстремума функций нескольких переменных весьма затруднительно.
15
Похожие работы
... необходимости строить локальную сети обмена данными, а достаточно сэмулировать этот процесс. Глава 4. Алгоритмы решения задач устойчивости для подкрепленных пологих оболочек, основанные на распараллеливании процесса вычисления При исследовании устойчивых подкрепленных оболочек с учетом геометрической нелинейности приходится многократно решать системы алгебраических уравнений. Коэффициенты ...
... в руки инженера эффективную вычислительную процедуру решения задачи оптимизации управления, хорошо приспособленную к использованию ЭВМ. Этот метод мы рассмотрим более подробно. 2.4. Метод динамического программирования 2.4.1. Дискретная форма вариационной задачи Преодоление рассмотренных трудностей решения вариационной задачи лежит на путях использования эффективных вычислительных методов ...
... решения останется неизменным, т.е. будет состоять из переменных (Х3,Х6,Х4,Х5). СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.1. – Мн.: БГУИР, 1995. 2. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного ...
... задачи динамики, определять, при каких условиях осуществимо движение с заданными свойствами. С другой стороны, и само развитие теории управления движениями материальных систем вызвало необходимость решения обратных задач динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что обратные задачи классической механики оказались своего рода направляющими и исходными задачами современной науки об ...
0 комментариев