Экстремальные задачи в неполной средней школе

1.6. Экстремальные задачи в неполной средней школе

В курсе математики V - VI классов учащимся нередко приходится решать задачи, в которых допускается несколько или даже много решений, причем далеко не всегда равнозначных. В таких случаях можно ставить дополнительный вопрос: найти наиболее выгодное решение, т.е. решать экстремальные задачи. С такими задачами приходится сталкиваться при изучении следующих разделов: "Неравенства", "Площадь и периметр пря­моугольника", "Натуральные числа", "делимость натуральных чисел".

Поскольку ученики V-VI классов встречаются с двойным неравен­ством, то в этих классах методом оценки можно решать задачи на нахо­ждение наибольшего и наименьшего значения линейного выражения a. y-h^ где /ч^эе^/г (лги/?.- целые неотрицательные числа, ^г- /• п- ).

• -'' ' ^

Задача: Стоимость телеграммы вычисляется почтовыми работни

ками по следующему правилу: по 5 копеек за каждое слово и еще 20 копеек за отправку. Какая может быть наибольшая и наименьшая цена телеграммы, если количество слов в теле­грамме определяется решением неравенства: /^ х- ^ ^0 ?

Решение: решение сводится к нахождению наибольшего и наимень­шего значения выражения S'x-^-20 , если //^ а? ^^ , л G /М Сначала можно предложить вычислить значение выражения при несколь­ких значениях переменной, взятых из промежутка ^ ^ ^х ^ ^ . Замеча­ем, что сумма будет наибольшая, если слагаемое -Ух будет наибольшим, т.е. будет равно 5*40и наименьшим, если слагаемое .^ будет наимень­шим, т.е. будет равно 5*17.

Среди экстремальных задач геометрические задачи на вычисление площадей и периметров представляют очень большой интерес. Решение этих задач в V-VI классах методом оценки формирует первое представле­ние о максимальном произведении при постоянной сумме двух перемен­ных и о минимальной сумме при постоянном произведении.

Задача. Начертите прямоугольник, периметр которого 36 см, и вычислите его площадь.

Решение: оформим в виде таблицы:

16

Вывод: SHaH6.=81cM при й.=6=.9см

Построение прямоугольников и запись решения в виде таблицы по­могает лучше видеть, как изменяется площадь прямоугольника с постоян­ной площадью.

Остановимся на решении экстремальных задач в разделе "Натуральные числа". Здесь на первом этапе решаются самые простые за­дачи, где число рассматриваемых элементов невелико. Это во многом упрощает организацию работы, требует меньше времени и создает хоро­шую возможность детям увидеть особенности применения метода перебо­ра к решению задач.

Задача. С помощью цифр 5,2 и 7 напишите все трехзначные числа, в каждом из которых все цифры различны. Среди этих чисел найдите наибольшее и наименьшее число

Решение: Это есть числа 527, 572, 275, 257, 752, 725. Наибольшее из них - 752, наименьшее - 257.

На первый взгляд кажется, что это очень простая задача, но она несет большую теоретическую нагрузку. В жизненных и производственных си­туациях часто приходится встречаться с задачами, которые допускают много различных решений. Решение экстремальных задач в курсе алгебры проходит в два этапа.

На первом этапе рассматривается неопределенная задача, текст кото­рой переводится на математический язык в виде неопределенного уравне­ния (функции), которое допускает много или бесконечно много решений.

На втором этапе по тем или иным признакам, которые заданы в яв­ном или неявном виде, определяется, какое из решений задачи наиболее выгодно.

1. Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме "Линейная функция". Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линей­ной функции ^= к-х, •+• о , где ^ и о - постоянные. Если эту функцию рассматривать на сегменте L^) J3>.3 , то она будет иметь на нем наимень­шее и наибольшее значения. При ^>о наименьшее значение у принимает

17

в точке л;= t/ , а наибольшее - в точке л'=/; при H^o функция У в точке Je-=<^ принимает наибольшее значение, а в точке л'=^ - наименьшее.

Задача. Расстояние между двумя шахтами А и б по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200т руды в сутки, на шахте В - 100т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наи­меньшим?

Решение: Выясним, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению за­дачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через х:

А С ^ ж ; 6С= 60-х- Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 ткм, а от В до С - 100*(60-JC) ткм. Суммарное количество (ткм) выразится функцией

f^^pOx.-^ {0£>( ео-зе.)-^ ^оОх. т- ёооо, д которая определена на сегменте L. О , 60.1.

ysssas-SL...^- ,,-..^<=--„—--„.™——-, Ясно, что это уравнение может иметь А ⁽- ьи—^ в

бесконечно много решении.

Исследуя функцию У= -foOx + 6000 на сегменте Г о •j bo], получим:

^г^п, "s Gooo . Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при ^ ^0, !/^„ = 6cw?TKM. Завод надо строить возле шахты А.

2. Решение задач по теме "Квадратичная функция" сводится к иссле­дованию квадратного трехчлена, поэтому при их решении используются приемы выделения квадрата двучлена или свойствами квадратичной функции.

Задача. Предлагается сделать ограду для квадратного участка земли со стороной 20м или прямоугольного участка земли , основании которого на несколько метров больше, а высота на столько же метров меньше. Сравните площади, периметры квадрата и пря­моугольника.

Решение: Поскольку сторона квадрата 20м, то Р =80м, s5 =400м² Если бы одну сторону квадрата уменьшить на X метров, а другую увели­чить на Х метров, то Р= -?• (20+ к)ч- 2 • (Ю~ У), S = ^00-х. -^? -fc ^СЮ

С^ ^

J наиб. =400//при jc=o . Следовательно, наибольшую площадь из всех прямоугольников с одинаковыми периметрами имеет квадрат.

18

Достаточно много экстремальных задач можно решать при изучении темы "Квадратный трехчлен". К исследованию квадратичной функции на экстремум сводятся многие задачи экономики, физики, техники, алгебры.

Рассмотрим функцию, заданную формулой (/.^биг^юл. + с , где а., ё,с, - некоторые числа, причем о. ^ о , п. - переменная, ^п- ^е ^ Если -- ^/2а<:Д/, то при п.= -^/зл. данная функция принимает экстремальное значение. Если -%а> ^ и { /2а\^/^ то данная функция принимает одно и

• - •/ /<й ^ц ,/ fft ./

то же экстремальное значение дважды: при ^\-•=•~^72Q.ⁱ•/2 "• Л^~у2сг ~- /2 . Если - ^/2о, ^ \ , то данная функция принимает наибольшее ( наименьшее) значение всегда при п. =. i .

В остальных случаях данная функция принимает экстремальное зна­чение при натуральном п, которое ближе расположено на числовой прямой к числу - ^&/^ .

Среди задач на оптимизацию есть задачи, которые могут быть ис­пользованы как на уроках алгебры, так и на уроках геометрии. Это объяс­няется тем, что с точки зрения^ содержания они геометрические (сформулированы в геометрических терминах), а по методу решения это задачи алгебры (они сводятся к определению экстремума функции мето­дом опорной функции).

Задача. Найти максимум произведения лу^ , если •^х- ^ .^ ^JL -^ { о. с> с.²'

Решение: Найдем максимум произведения -^х— • -"— ' -^fc— , т.к. зсл/i а²- У с.³ (J

у 22

максимально при тех же условиях, что и -•^х . ^у -. ^z—. По уело -

а.-²- ^ e^Q -

л⁵- у² г² ,

вию —— + -^- ^ —з- = < , тогда должно выполняться равенство:

Тг^- Ч^ ? ^ • J£ У 2 ^

-a-s" ^:: g7- ⁼ ~сТ или -а"^ '^^'с'^ уу . Т.к. сумма слагаемых постоянна, то их произведение будет наибольшим когда они равны. Тогда m-OLK (^г}^ л-8-е -- /Г о ее. Ответ: ^•^•^ о

m-CLX (^i) = j^^g <7 ' <э '

19

1.7. Понятия о задачах математического программирования

Математические модели реальных задач описываются уравнениями, системами уравнений или дифференциальными уравнениями. Но в школь­ном курсе изучаются еще неравенства и системы неравенств, а их прило­жения иллюстрирующих их применение для решения реальных задач от­сутствуют. Для заполнения этого пробела в первых изданиях учебника "Алгебра и начала анализа" содержался пункт "Понятие о линейном про­граммировании". Ниже приведем методику изложения трех основных за­дач линейного программирования для изучения в математических кружках в средней школе.

Похожие работы

Алгоритмы параллельных процессов при исследовании устойчивости подкрепленных пологих оболочек

Скачать

74337

5

31

... необходимости строить локальную сети обмена данными, а достаточно сэмулировать этот процесс. Глава 4. Алгоритмы решения задач устойчивости для подкрепленных пологих оболочек, основанные на распараллеливании процесса вычисления При исследовании устойчивых подкрепленных оболочек с учетом геометрической нелинейности приходится многократно решать системы алгебраических уравнений. Коэффициенты ...

Динамическое программирование и вариационное исчисление

Скачать

24366

0

0

... в руки инженера эффективную вычислительную процедуру решения задачи оптимизации управления, хорошо приспособленную к использованию ЭВМ. Этот метод мы рассмотрим более подробно. 2.4. Метод динамического программирования   2.4.1. Дискретная форма вариационной задачи Преодоление рассмотренных трудностей решения вариационной задачи лежит на путях использования эффективных вычислительных методов ...

Решение оптимизационной задачи линейного программирования

Скачать

59893

13

0

... решения останется неизменным, т.е. будет состоять из переменных (Х3,Х6,Х4,Х5).   СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.1. – Мн.: БГУИР, 1995. 2. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного ...

Решение обратных задач динамики

Скачать

31691

0

25

... задачи динамики, определять, при каких условиях осуществимо движение с заданными свойствами. С другой стороны, и само развитие теории управления движениями материальных систем вызвало необходимость решения обратных задач динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что обратные задачи классической механики оказались своего рода направляющими и исходными задачами современной науки об ...