Определения

1. Определения

Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящих в него производных. Этот параграф посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка, то есть уравнениям вида

,

где - заданная функция, - независимая переменная, - искомая функция, - ее производная. Уравнения вида

называются разрешенными относительно производной.

Функция называется решением дифференциального уравнения, если после ее подстановки уравнение обращается в тождество. Процесс нахождения решений называется интегрированием уравнения. Решить уравнение значит найти все его решения.

Ниже рассматриваются только уравнения, разрешенные относительно производной. В простейшем случае, когда правая часть уравнения не зависит от , то есть уравнение имеет вид

,

любое его решение является первообразной функции , а интегрирование уравнения сводится к отысканию неопределенного интеграла от (см. § 4). Совокупность всех решений, то есть общее решение уравнения, можно представить формулой

,

где - произвольная постоянная. При этом в данном параграфе под неопределенным интегралом функции условимся понимать не все множество ее первообразных, а любую фиксированную первообразную.

Пример. Для уравнения

,

интегрируя, получим общее решение

.

В следующем пункте рассматривается один класс уравнений, общее решение которых представляется в квадратурах, то есть с использованием интегралов от известных функций.

2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

, (1)

где и - заданные функции.

Заметим, что если для некоторого значения выполнено , то функция является решением уравнения (1).

Рассмотрим случай . Разделив левую и правую части уравнения на , получим , откуда следует соотношение между первообразными , где - произвольная постоянная. Используя формулу замены переменной в неопределенном интеграле (см. § 4), получаем равенство

, (2)

определяющее в неявном виде семейство решений уравнения (1), зависящее от произвольной постоянной.

Замечание. Чтобы из бесконечного множества решений дифференциального уравнения выделить частное решение нужно задать какое-либо дополнительное условие, например,

, (3)

где , - некоторые постоянные. Условие (2) называется начальным, а задача отыскания решения, удовлетворяющего такому условию, называется задачей Коши.

Пример. Найдем общее решение уравнения

.

Используя (2), получаем , то есть , где - произвольная постоянная. Отсюда находим семейство решений . Кроме того, имеется решение , при котором правая часть уравнения обращается в ноль. Все найденные решения можно представить одной формулой

,

где - произвольная постоянная.

Пример. Рассмотрим уравнение

. (4)

Как и в предыдущем примере, является решением. При получаем или , откуда находим бесконечное семейство решений

.

Пример. Решим задачу Коши

, .

Заметим, что функция удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет начальному условию. Пусть , тогда общее решение определяется из равенства , откуда и, следовательно,

.

При с учетом начального условия получим , откуда . Таким образом, решением задачи Коши является функция

.

Похожие работы

Билеты по математическому анализу

Скачать

46169

0

217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Скачать

28459

2

2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

Скачать

17837

7

5

... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно .     рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2   Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...