Экстремумы

2. Экстремумы

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех точек () из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство (). Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Пример. В экономическом анализе применяется функция прибыли

,

где – производственная функция, – цена выпускаемой продукции, и – факторные цены. Пара чисел () называется оптимальным планом, если функция достигает максимума при . Таким образом, поиск оптимального плана сводится к отысканию точки экстремума (максимума) функции прибыли .

Следующие теоремы позволяют находить точки экстремума функций.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке экстремума частные производные первого порядка, то они равны нулю в этой точке:

. (1)

Точки, координаты которых удовлетворяют системе (1) называются стационарными точками функции . Точки экстремума функции следует искать среди ее стационарных точек и тех точек, в которых частные производные первого порядка не существуют.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности своей стационарной точки . Положим

.

Тогда:

а) если и , то - точка максимума функции;

б) если и , то - точка минимума функции;

в) если , то в точке экстремума нет.

Пример. Стационарная точка , функции

является решением системы уравнений

, .

При этом , , и . Следовательно, в точке функция имеет локальный минимум.

Пример. Пусть . Тогда , , , , , , и, следовательно, стационарная точка не является точкой экстремума.

Пример. Для функции из системы уравнений

, ,

найдем четыре стационарные точки: , , , . Поскольку , , , то

.

В точках и выполнено условие , поэтому функция имеет экстремумы в этих точках: минимум в , так как , и максимум в , так как . В точках и экстремумов нет, так как в этих точках.

Упражнения

1. Найти частные производные первого порядка следующих функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

2. Найти смешанные производные функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

3. Найти стационарные точки функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;.

6) );

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

4. Найти точки локального экстремума функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Ответы

1.

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) ; ;

8) , ;

9) , ;

10) , .

2.

1) 0;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

3.

1) (0,1);

2) ;

3) (1,2);

4) ;

5) и ;

6) стационарных точек нет;

7) ;

8) ;

9) стационарных точек нет;

10) .

4.

1) - точка минимума;

2) - точка минимума;

3) - точка максимума;

4) и 5) функция не имеет точек экстремума;

6) - точка минимума;

7) - точка минимума;

8) - точка максимума;

9) функция не имеет точек экстремума;

10) - точка минимума; - точка максимума.

§ 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Математическое исследование многих реальных процессов основано на применении дифференциальных уравнений, содержащих производные искомых функций. Аппарат дифференциальных уравнений универсален: разнообразные процессы могут описываться одинаковыми уравнениями. Практика показывает, что даже простые математические модели, использующие дифференциальные уравнения, позволяют качественно изучить основные черты сложных явлений и оценить их количественные характеристики.

Похожие работы

Билеты по математическому анализу

Скачать

46169

0

217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Скачать

28459

2

2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

Скачать

17837

7

5

... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно .     рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2   Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...