Определения

1. Определения

Пусть каждой точке некоторого множества плоскости поставлено в соответствие число , тогда говорят, что на множестве задана функция двух переменных . Используется также запись .

Пример. В экономических приложениях встречаются производственные функции, устанавливающие связь между затратами производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции. Производственные функции, как правило, зависят от многих переменных (факторов). В частности, рассматриваются двухфакторные функции

,

где - объем производственных фондов, - затраты труда, - объем выпускаемой продукции. Примером двухфакторной функции является функция Кобба-Дугласа

,

где , , - постоянные.

Окрестностью точки назовем внутренность любого круга с центром в этой точке. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Зафиксируем значение и рассмотрим функцию одной переменной . Производная функции в точке (если она существует) называется частной производной функции в точке по переменной и обозначается . Аналогично определяется частная производная по переменной .

Производные и функции называются частными производными первого порядка. Если они существуют в некоторой окрестности точки , то частные производные от них по и называются частными производными второго порядка и обозначаются , , , , где, например, , . Производные , называются смешанными частными производными.

Аналогично можно ввести частные производные третьего и более высоких порядков. Из определения частных производных следует, что для их нахождения можно использовать все правила, справедливые для производных функций одной переменной.

Примеры. Найдем частные производные первого и второго порядков функций:

а) , тогда

, ,

, , ;

б) , тогда

, ,

, , .

Равенство смешанных производных, наблюдаемое в приведенных примерах, не случайно. Справедливо следующее общее утверждение.

Теорема. Если производные , существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке, то справедливо равенство

.

Похожие работы

Билеты по математическому анализу

Скачать

46169

0

217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Скачать

28459

2

2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

Скачать

17837

7

5

... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно .     рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2   Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...