Навигация
4. Эластичность функции
Пусть аргумент 
функции 
получает приращение 
. Тогда значение функции изменяется на величину 
. Отношение 
характеризует среднее изменение функции, приходящееся на единицу изменения ее аргумента, а предел этого отношения при 
равен производной 
.
Рассмотрим относительные изменения переменных 
и 
, выраженные, например, в процентах: 
и 
. Их отношение
показывает, на сколько процентов в среднем меняется при изменении на 
. Предел этого отношения при называется эластичностью функции и обозначается 
, то есть
.
Так как
,
то справедлива формула
.
Примеры. а) Пусть 
, тогда 
и, следовательно, 
. При 
получаем 
, то есть при увеличении от 2 до 2,02 (на 1%) значение изменяется примерно на 
.
б) Пусть 
, тогда 
и, следовательно, 
. При 
получим 
. Следовательно, увеличение от 3 до 3,03 ведет к уменьшению примерно на 
.
в) Пусть 
, тогда 
и, следовательно, 
. В этом случае эластичность постоянна и равна 
, то есть при любом значении аргумента его увеличение на 1% ведет к уменьшению значения функции также на .
Функция 
называется эластичной в точке 
, если 
, нейтральной, если 
, и неэластичной, если 
.
Пример. Дана зависимость спроса 
от цены 
:
.
Найдем эластичность спроса 
, и рассмотрим ее значения при некоторых 
. Так как 
, то 
. При 
имеем 
, откуда 
, то есть спрос неэластичен. Если 
, то 
, 
, – спрос нейтрален. При 
получим 
, то есть 
и, значит, спрос эластичен.
Эластичность спроса означает, что его относительное изменение по абсолютной величине превосходит относительное изменение цены; неэластичность означает меньшее относительное изменение спроса по сравнению с ценой; нейтральность – равенство этих изменений по абсолютной величине.
Пример. Пусть зависимость спроса от цены представлена функцией 
. Величина
равна выручке, получаемой от продажи товара в объеме, равном спросу на товар. Выясним, как изменяется спрос с увеличением цены. Для этого найдем производную 
:
,
откуда
.
Будем предполагать, что 
, поскольку, как правило, спрос уменьшается с ростом цены. В этом случае 
и, следовательно, имеем
.
Отсюда видно, что если спрос эластичен (
), то 
, и с повышением цены выручка от продажи товара снижается; если спрос нейтрален (
), то 
, и выручка мало зависит от изменения цены; если спрос неэластичен (
), то 
, и выручка увеличивается с ростом цены.
Упражнения
1. Найти производные 
функций:
1) 
;
2)
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
;
19) 
;
20) 
21) 
;
22) 
;
23) 
;
24) 
;
25) 
;
26) 
.
2. Определить угол наклона касательной к графику функции:
1)
при 
;
2) 
при 
;
3)
при 
;
4)
при.
3. Найти промежутки возрастания и убывания функций и их экстремумы:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
.
4. Найти эластичность функций:
;
;
;
;
;
6) 
.
5. Для заданной зависимости спроса 
от цены найти эластичность спроса и вычислить ее при заданном значении 
:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
6. Для заданной зависимости спроса от цены найти значения цены, при которых выручка возрастает с увеличением цены:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Ответы и решения
1.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
;
19) 
;
20) 
;
21) 
;
22) 
;
23) 
;
24) 
;
25) 
;
26) 
.
2.
1) Угол наклона касательной 
поскольку
;
2) 
; 3) 
, 4) 
.
3.
1) При 
функция убывает, при 
- возрастает; 
;
2) Функция возрастает при 
и 
; убывает при 
; 
; 
;
3) Функция убывает при всех ; 4) Функция возрастает при всех ;
5) Функция убывает при 
, возрастает при 
;
;
6) Функция убывает при всех ;
7) Функция возрастает при , убывает при ; 
;
8) Функция убывает при 
и 
, возрастает при 
;
, 
;
9) Функция возрастает при , убывает при ;;
10) Функция убывает при , возрастает при ; 
;
4.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
5. 1) 
, 
; спрос нейтрален; 2) 
, 
; спрос эластичен; 3) 
, 
; спрос неэластичен.
6. 1) 
; 2) 
; 3) Таких значений цены нет; выручка не меняется с ростом цены.
§ 4. Неопределенный интеграл
К понятию неопределенного интеграла приводит задача о нахождении функции по ее производной. Эта задача решается с помощью операции интегрирования, обратной по отношению к операции дифференцирования.
Похожие работы
... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...
... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка. 2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...
... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...
... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно . рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2 Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...
0 комментариев