Определение интеграла и правила интегрирования

1. Определение интеграла и правила интегрирования

Пусть для всех , принадлежащих интервалу , выполнено равенство

,

тогда функция называется первообразной функции на .

Заметим, что первообразная функции определяется не однозначно: вместе с первообразными являются функции вида , где – произвольная постоянная. Справедливо утверждение: любая первообразная функции представима в виде при некотором значении .

Совокупность всех первообразных функции называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом :

;

при этом называется подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования. Операция нахождения интеграла называется интегрированием.

Пример. а) Из равенства заключаем, что функция является первообразной функции . Следовательно, можно записать

.

б) Аналогично, из равенства следует

.

В отличие от производной интеграл элементарной функции может не быть элементарной функцией. Это относится, например, к интегралам от , , . Однако интегралы всех основных элементарных функций выражаются через элементарные функции. Приведем таблицу некоторых из них, получаемую из таблицы производных, и правила, по которым можно находить интегралы других функций.

Таблица интегралов

1) (); 2) ;

3) ; 4) .

Правила интегрирования

;

, где  - постоянная

Отметим, что приведенные правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.

Примеры. Найдем интегралы, применяя указанные правила и таблицу:

а) ;

б) ;

в) .

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные и связаны соотношением , где - обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

,

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену .

В частности, используя замену (или ), получаем формулу

,

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

(),

,

,

где и - произвольные постоянные, .

Примеры. Найдем интегралы, применяя полученные формулы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) интеграл найдем, сделав замену , . Тогда

,

где использован результат примера в);

д) .

Упражнения

1. Найти интегралы:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

2. Найти интегралы:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Ответы

1.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

2.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

§ 5. Определенный интеграл

Определенный интеграл функции равен пределу интегральных сумм, сопоставляемых ей по некоторым правилам. Для непрерывной неотрицательной функции определенный интеграл равен площади фигуры, заключенной между графиком функции и осью . При вычислении определенного интеграла от непрерывной на отрезке функции используется формула Ньютона-Лейбница, выражающая определенный интеграл через первообразную функции.

Похожие работы

Билеты по математическому анализу

Скачать

46169

0

217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Скачать

28459

2

2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

Скачать

17837

7

5

... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно .     рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2   Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...