Определение производной и правила дифференцирования

1. Определение производной и правила дифференцирования

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть – приращение аргумента в точке , а – соответствующее приращение функции. Составим отношение этих приращений и рассмотрим его предел при . Если указанный предел существует, то он называется производной функции в точке и обозначается , или , то есть

.

Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала , то она называется дифференцируемой на этом интервале.

Примеры. Найдем производные функций в произвольной точке :

а) ,

;

б) ,

Заметим, что на практике при вычислении производных редко прибегают к определению. Вместо этого используют таблицу, содержащую выражения для производных всех основных элементарных функций, а также правила дифференцирования, позволяющие находить производную суммы, разности, произведения, частного и композиции функций.

Приведем таблицу производных некоторых основных элементарных функций и правила дифференцирования.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ,

где , и - произвольные постоянные, , .

Примеры. Получим некоторые следствия формулы 2:

а) ,

б) ;

в) .

Правила дифференцирования

;

, где - постоянная;

;

;

если , а , то производная сложной функции находится по формуле

,

где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.

Примеры. Найдем производные функций, используя правила 1-4:

а) ;

б) ;

в) ;

Примеры. Найдем производные сложных функций по правилу 5:

а) ; положим , тогда , и, следовательно,

;

б) ; положим , тогда , и

.

Заметим, что производная , называемая также первой производной функции , сама является функцией аргумента . Производная этой функции называется второй производной функции и обозначается , то есть . Аналогично можно ввести третью и более высокие производные.

Примеры. Найдем вторые производные:

а) ;

б) .

Похожие работы

Билеты по математическому анализу

Скачать

46169

0

217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Скачать

28459

2

2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

Скачать

17837

7

5

... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно .     рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2   Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...