1. Определение производной и правила дифференцирования
Пусть функция
определена
в некоторой
окрестности
точки
.
Пусть
– приращение
аргумента
в точке
,
а
– соответствующее
приращение
функции. Составим
отношение
этих приращений
и рассмотрим
его предел при
.
Если указанный
предел существует,
то он называется
производной
функции
в точке
и обозначается
,
или
,
то есть
.
Операция вычисления
производной
называется
дифференцированием,
а функция, имеющая
производную
в точке, – дифференцируемой
в этой точке.
Если функция
имеет производную
в каждой точке
интервала ,
то она называется
дифференцируемой
на этом интервале.
Примеры. Найдем производные
функций в
произвольной
точке :
а) ,
;
б)
,
Заметим, что на практике при вычислении производных редко прибегают к определению. Вместо этого используют таблицу, содержащую выражения для производных всех основных элементарных функций, а также правила дифференцирования, позволяющие находить производную суммы, разности, произведения, частного и композиции функций.
Приведем таблицу производных некоторых основных элементарных функций и правила дифференцирования.
Таблица производных1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ,
где ,
и
- произвольные постоянные,
,
.
Примеры. Получим некоторые следствия формулы 2:
а) ,
б) ;
в) .
Правила дифференцирования
;
, где
- постоянная;
;
;
если , а
, то производная сложной функции
находится по формуле
,
где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.
Примеры. Найдем производные функций, используя правила 1-4:
а) ;
б) ;
в) ;
Примеры. Найдем производные сложных функций по правилу 5:
а) ; положим
, тогда
, и, следовательно,
;
б) ; положим
, тогда
, и
.
Заметим, что производная , называемая также первой производной функции
, сама является функцией аргумента
. Производная этой функции называется второй производной функции
и обозначается
, то есть
. Аналогично можно ввести третью и более высокие производные.
Примеры. Найдем вторые производные:
а) ;
б) .
... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...
... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка. 2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...
... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...
... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно . рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2 Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...
0 комментариев