Математические модели некоторых процессов

3. Математические модели некоторых процессов

Рассмотрим примеры задач, исследование которых проводится с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример (закон роста населения Земли). Пусть - число людей на Земле в момент времени . Демографические данные показывают, что за небольшой интервал времени прирост населения пропорционален квадрату числа людей и интервалу времени:

,

где - некоторая постоянная. Разделив левую и правую части этого равенства на и перейдя к пределу при , получим уравнение

, (5)

где - дифференцируемая функция, приближающая функцию . Уравнение (5) аналогично уравнению (4), рассмотренному выше. Его общее решение имеет вид . Заметим, что известные демографические данные хорошо согласуются с частным решением

,

где время исчисляется в годах от начала нашей эры. Функция не определена при , поэтому закон роста населения в будущем должен измениться.

Пример (модель производства). Пусть - интенсивность выпуска продукции некоторым предприятием в момент времени , а - цена продукции. Доход от продажи этой продукции составляет . Пусть часть вырученных средств, равная

, (6)

где - некоторое число, направляется на расширение производства. Предположим, что скорость изменения интенсивности выпуска продукции прямо пропорциональна объему инвестиций:

, (7)

где - постоянная. Из (6) и (7) получаем уравнение

, (8)

общее решение которого при постоянном имеет вид , где . Если задано начальное условие

, (9)

то решением задачи Коши (8), (9) является функция

.

Уравнение (8) называется уравнением естественного роста. Им описываются также процессы радиоактивного распада в физике и размножения бактерий в биологии.

На практике с увеличением выпуска продукции происходит насыщение рынка и цена падает. Если, например, , где и - положительные постоянные, то вместо (8) получим уравнение

, (10)

аналогичное уравнению, рассматриваемому в следующем примере.

Пример (модель рекламы). Пусть - число людей, знающих к моменту времени некоторую новость, а - общее число людей. Будем предполагать, что скорость распространения новости прямо пропорциональна как числу людей , уже ее знающих, так и числу людей , еще не знающих новости, то есть

, (11)

где - постоянная. Разделив переменные в этом уравнении, получим

,

откуда, используя результат последнего примера § 4, найдем

или

.

График этой функции называется логистической кривой. Для случая , соответстщего условию, что в момент половина людей знает новость (), эта

кривая представлена на рис. 15.

Рис.15.

Рассматриваемое уравнение обладает также решениями и , обращающими в ноль его правую часть. Эти решения соответствуют ситуациям, когда новость не распространяется: в первом случае в начальный момент ее никто не знает, а во втором - знают все.

Отметим, что уравнения (10) и (11), описывающие совершенно разные процессы, по существу, совпадают. Уравнения того же типа возникают при описании динамики эпидемий, процессов размножения бактерий в ограниченной среде обитания, применяются в математической теории экологии.

Упражнения

1. Решить уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4);

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) .

2. Решить задачи Коши:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , ,

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) , ;

20) , .

Ответы

1.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) Общее решение находится

из уравнения ;

21) ;

22) ;

23) ;

24 ) ;

25) ;

26) .

2.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) и ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) .

Похожие работы

Билеты по математическому анализу

Скачать

46169

0

217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Скачать

28459

2

2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

Скачать

17837

7

5

... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно .     рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2   Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...