Определение

1. Определение

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками () такими, что . Длины полученных отрезков обозначим (), и пусть – наибольшая из этих длин. Выберем на каждом из отрезков разбиения произвольную точку и составим сумму

, (1)

которую назовем интегральной суммой для функции .

Рассмотрим интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка при различных значениях . Если существует предел таких сумм при , то он называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается

,

при этом функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке , числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Пример. Функция непрерывна на отрезке и, следовательно, интегрируема на нем. Чтобы вычислить интеграл , достаточно рассмотреть любую последовательность разбиений отрезка , для которой , и найти предел соответствующей последовательности интегральных сумм. При этом промежуточные точки для каждого разбиения можно выбирать произвольно. Рассмотрим равномерные разбиения вида , , а в качестве выберем правые концы отрезков , то есть положим , . В этом случае имеем , , и интегральная сумма (1) принимает вид

.

Переходя к пределу при , получаем

.

2. Геометрический смысл

Пусть функция непрерывна на отрезке и неотрицательна: . Фигуру, ограниченную графиком функции , вертикальными прямыми и и осью , назовем криволинейной трапецией. Рассмотрим разбиение отрезка , описанное в предыдущем пункте, и соответствующую интегральную сумму (1). Заметим, что слагаемые в (1) равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами (), а вся сумма представляет площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками, см. Рис. 14. Предел интегральных сумм (если он существует), то есть определенный интеграл, естественно принять в качестве площади криволинейной трапеции.

Рис. 14.

Похожие работы

Билеты по математическому анализу

Скачать

46169

0

217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Скачать

28459

2

2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

Скачать

17837

7

5

... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно .     рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2   Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...