Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність

1.5 Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність

Функціяназивається неперервною в точці , якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці :

Функція  в точці  буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

1.       функція  визначена в околі точки ;

2.       існує границя  функції в точці ;

3.       границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

(1)

Разом усі ці умови є необхідними й достатніми для того, щоб функція  була неперервною в точці .

На практиці при дослідженні функцій на неперервність користуються ознаками, які безпосередньо випливають із співвідношення (1), а саме:

для того, щоб функція  була неперервною в точці , треба щоб:

1.        була визначеною в околі точки ;

2.       існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число ;

3.       існувала правостороння границя функції – число

;

4.       лівостороння й правостороння границя були рівні

=;

5.       правостороння й лівостороння границя в точці  дорівнювали значенню функції в цій точці, тобто

==

Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною.

Якщо функція  визначена на відрізку , то в точках а і b можна ставити питання тільки про односторонню неперервність, а саме, в точці а — про неперервність справа, а в точці b — зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції в точці зліва і справа.

Функція  називається неперервною в точці  зліва, якщо виконуються умови:

1.        визначена в точці  (існує число );

2.       в точці  існує лівостороння границя функції;

3.       лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .

Отже, якщо  неперервна в точці  зліва, то виконується співвідношення

=,

де  — лівостороння границя функції в точці .

Функція  називається неперервною в точці  справа, якщо виконуються умови:

1.        визначена в точці  (існує число );

2.       в точці  існує правостороння границя функції;

3.       правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .

Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення

=,

де  — правостороння границя функції  в точці .

Точкою розриву функції  називають точку  в околі якої функція визначена, але в самій точці не задовольняє умові неперервності, що .

1. Точка  є точкою усувного розриву, якщо існує , проте  не визначена в точці , або . Даний розрив можна усунути, для цього до визначають певним чином функцію в точці ;

2. Точка  є точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва  та права  границі функції, але , різницю

називають стрибком функції  в точці

3. Точка  є точкою розриву другого роду функції , якщо в точці  не існує принаймні одна з односторонніх границь функції.

Приклад 1. Дослідити точки розриву функції .

Розв’язання. В точці  функція не визначена. Знайдемо при  границі даної функції зліва та справа:

Оскільки односторонні границі скінченні, але

,

то  є точкою розриву першого роду.

Стрибок в даному випадку в точці  дорівнює 2.

Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію

Розв’язання. Дана функція визначена у всіх точках за винятком х = 0. Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:

Рівність  означає, що х = 0 є точкою усувного розриву.

Приклад 3. Визначити характер розриву функції

Розв’язання. Функція в точці  не визначена.

При  маємо , при  . Отже, , .

Тому точка  є точкою розриву другого роду.

2.1 Похідна функції в точці

Похідною функції  в точці х називається границя (як що вона існує) відношення приросту функції  до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто:

. (2.1)

Функція, яка має скінчену похідну в точці х, називається диференційовною в цій точці. Приріст диференційовної в точці х функції має вигляд

, (2.2)

де  – нескінченно мала функція при , тобто диференційовна функція неперервна.

Якщо , тоді функція  в точці х має нескінченну похідну.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Похідні основних елементарних функцій

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

 (12)

 (13)

(14)

 (15)

 (16)

 (17)

 (18)

(19)

 (20)

(21)

Розв’язання. Застосовуючи основні правила диференцію-вання, маємо:

Приклад 2. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

Приклад 3. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Використовуючи формули, маємо:

Приклад 4. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

.

Приклад 5. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

.

Приклад 6. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

.

Приклад 7. Знайти похідну функції .

Розв’язання.

.

Похожие работы

Компетентність вчителя іноземних мов

Скачать

250979

19

4

... мов полягає в наявності сформованої іншомовної комунікативної компетенції,яка входить до складу когнітивно-технологічного компоненту. 2. Компонентно-стурктурний аналіз професійної компетентності вчителя іноземних мов Професійна компетентність учителя синтезує в собі, по-перше, загальні вимоги до педагога як до особистості, по-друге, особливості його професійно-педагогічної діяльності, по-трет ...

Психологічний вплив на педагогічну кваліметнію

Скачать

133248

1

0

... єнню студентами навчальної програми. Система розрахована на студентів з різним рівнем підготовки і допомагає кожному з них зайняти своє місце у суспільстві та набути високу професійну кваліфікацію. 1.5 Педагогічний процес у ВНЗ МВС Франції Сучасна система вищої освіти Франції, яка склалася в процесі історичного розвитку, нині включає: університети з традиційною системою факультетів і пі ...

Взаємодія соціальних інститутів суспільства у формуванні здорового способу життя дітей та підлітків

Скачать

664560

27

18

... ів є актуальною, оскільки на її основі реально можна розробити формувальні, розвивальні та оздоровчі структурні компоненти технологічних моделей у цілісній системі взаємодії соціальних інститутів суспільства у формуванні здорового способу життя дітей та підлітків. На основі інформації, яка отримана в результаті діагностики, реалізується ме­тодика розробки ефективних критеріїв оцінки інноваційних ...

Історія України. Соціально-політичні аспекти

Скачать

195443

0

0

... українського народу. Україна на шляху суверенного розвитку: суспільно-політичні трансформації. Формування політичних партій. “Партія влади” та опозиція, їх вплив на громадсько-політичне життя в Україні. Соціальна політика в контексті нових реалій. Культура, освіта та наука в умовах функціонування суверенної держави. Українська церква та проблеми духовного відродження нації. Партійне життя. ...