Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной

7. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.

Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x₀локальный максимум, если сущ-ет окрестность (х₀-d, х₀+d), для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)£f(х₀). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f(х)³f(х₀).

Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х₀) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х₀. Пусть (х₀-d, х₀+d) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х₀)А это означает, что правая производная f_пр'(х₀) и левая производная f_л'(х₀) равны между собой: f_пр'(х₀)= f_л'(х₀)= f'(х₀). Таким образом, с одной стороны, f'(х₀)≤0, с другой стороны, f'(х₀)≥0, что возможно лишь, когда f'(х₀)=0.

Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х₀ существует f'(х) ( в самой точке х₀ производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х₀ слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а после точки х₀ убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х₀ имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f'(х)>0 при х< х₀ и f'(х)<0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f'(х)<0 при х< х₀ и f'(х)>0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х₀ , в том числе и в самой точке х₀ , существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х₀ существует вторая производная f''(х₀). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х₀)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Допустим, что f''(х₀)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х₀ к значениям х > х₀ . Но f'(х₀)=0, поэтому возрастание f'(х₀)<0, при х < х₀ и f'(х₀)>0, при х > х₀ . (для значений х из достаточно малой окрестности х₀ ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х₀ . Аналогичное рассуждение при f''(х₀)<0 приводит к существованию максимума в точке х₀ . Вывод: если f'(х₀)=0, а f''(х₀)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х₀ . Если f'(х₀)=0, а f''(х₀)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х₀.

11. Формула Тейлора и Маклорена.

Этой формулой можно воспользоваться, когда в некоторой окрестности точки х₀ существует непрерывная производная f⁽ⁿ⁺¹⁾(x), и значения х принадлежат этой окрестности. Через R_n обозначен так называемый остаточный член. Его можно записывать в разных формах. Мы ограничимся формулой Лагранжа:

Здесь с - какое-то число, о котором известно только то, что оно находится между х₀ и х.

При х₀=0 формулу Тейлора называют формулой Маклорена, общий вид которой:

8. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Рассмотрим функцию у=f(х), непрерывную на отрезке [a,b]. По теореме Вейерштрасса эта функция принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в точках локального экстремума (x₂, x₃, x₄, x₅,), либо на концах промежутка. Находим точки, подозрительные на экстремум (х₁, x₂, x₃, x₄, x₅,). Вычисляем значения функции в этих точках и на концах промежутка [a,b]. Из полученных чисел выбираем самое большое и самое маленькое. Это не предусматривает применения достаточных условий экстремума в точке х₁, где локального экстремума не существует, т.е. проделана лишняя работа. Однако, как правило, экономнее вычислять значения функции во всех точках, подозрительных на экстремум, вместо того, что бы отбирать из них с помощью достаточных условий лишь те точки, в которых локальный экстремум действительно есть. Иногда описанную задачу называю глобальный экстремум.

Похожие работы

Шпора к канд. минимуму по философии

Скачать

369617

0

0

... нельзя быть аморальным политиком. Средство борьбы против этого --- гласность. Ход исторического процесса --- антагонизм. b 10---------- 1. Теоретическое и обыденное сознание. Знание и мнение в древнегреческой философии. Акцент делать на этом вопросе. Общественное сознание - духовная, идеологическая жизнь общества, его мировозрение. Общественное сознание формируется и развивается вместе ...

История западноевропейской философии

Скачать

161367

0

0

... . — С 73-77. Лосев А. Ф. Типы античного мышления // Античность как тип культуры. — М., 1988. — С. 78-104. Луканин Р. К. Из истории античного опыта и эксперимента // Филос. науки. — 1991. — № 11. — С. 23-36. Луканин Р. К. Категории Аристотеля в истолковании западноевропейских философов // Путем Октября. — Махачкала, 1990. — С. 84-103. Луканин Р. К. "Среднее"— специфическое понятие аттической ...

Развитие интеллектуальных способностей детей средствами математики

Скачать

196174

7

19

... то целесообразно разработать комплекс заданий по развитию интеллектуальных способностей дошкольников и внедрить его в математический блок программы «Радуга». 2.2 Опытно-поисковые исследования по развитию интеллектуальных способностей средствами математики Для проверки выдвинутой гипотезы провели опытно-поисковые исследования. Опытно-поисковые исследования состояли из трех этапов. На первом ...

Шпоры по Госам МСХА

Скачать

333055

3

8

... руководителя. Большое внимание следует уделять мотивации управленческого труда.    56. Организационно-распорядительные методы управления (Или административные). С их помощью осуществляются регулирующие функции гос-ва. Основаны на исполнении обязательных предписаний и рекомендаций, позволяют оперативно воздействовать на ход событий в процессе упр-я, ср-во волевого и конкретного воздействия ( ...