Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной
Нахождение асимптот графиков функции
Теорема о среднем значении для определенного интеграла
Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом
Интегралы с бесконечными пределами
Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных
Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл
Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла
Системы линейных уравнений. Правило Крамера
Сложение векторов, умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось. Коллиниарность и комплиментарность векторов
Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл
Условия || и ^ прямых на плоскости
Парабола
Навигация
Нахождение асимптот графиков функции
Шпоры по математическому анализу
56527
знаков
0
таблиц
0
изображений
9. Нахождение асимптот графиков функции.
Говорят, что точка движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой точки до начала координат неограниченно возрастает.
Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.
Нахождение вертикальных ас:
Ищутся конечные значения х=а, при которых
Существование такого значения часто связано с обращением в нуль знаменателя дроби.
Нахождение наклонных асимптот.
Пусть y = kx+b - асимптота кривой y=f(x) при x→+∞ (как на рисунке). Угол φ сохраняет постоянное значение, α=φ. Из ∆ KLM KM=MLּ cos α. Поэтому KM и ML стремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b), следовательно (1):
Преобразуем это равенство, вынеся х за скобки:
При x→∞ такое равенство возможно только тогда, когда: 
 |
Здесь
Поэтому
Следовательно (получаем (2)),
Вычислив k, находим b. Из равенства (1)(получаем (3)
Существование пределов (2) и (3) не только необходимо, но и достаточно, чтобы прямая y=kx+b была асимтотой кривой y=f(x). В частности, при k=0 асимптота будет горизонтальной. Кривая не имеет наклонной асимптоты, если не существует хотя бы один из пределов (2) и (3).
13. Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если на этом интервале существует производная F'(x) и F'(x)=f(x).
Теорема: Если F1(x) и F2(x) - первообразные для одной и той же функции f(x), то их разность есть величина постоянная.
Докозательство: По условию F'1(x)=F'2(x)=f(x) обозначим: Ф(x)= F1(x) - F2(x). Очевидно, Ф'(x) равняется нулю во всем промежутке (a,b), где определены первообразные F1(x) и F2(x). Для любых х1, x2,Î (a,b) по формуле Лагранжа Ф(х1)-Ф(х2)=Ф'(c)(b-a). но Ф'(c)=0, т.к. сÎ (a,b), следовательно Ф(х1)=Ф(х2). Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на промежутке (a,b), т.е. F1(x) - F2(x)=С.
Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C, где С - произвольная постоянная.
14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы.
Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫ f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.
Из определения вытекает, что
И следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx. С другой стороны, ∫F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C.
Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное выше следствие, можно написать: ∫ f(x) dx = F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать справедливость следующих свойств:
1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).
10. Схема исследования функции с помощью дифференциального исчисления и построения графика.
Исследование функции y=f(x) проводится по плану:
1. Находится ООФ.
2. Вычисляются нули функции y=f(x), т.е. значения х1, x2…, при которых f(x1)=0, f(x2)=0…Между нулями функция, как правило сохраняет знак, так, непрерывная функция не может сменить знак не обратившись в ноль. Устанавливают где f(x)>0 и f(x)<0.
3. вычисляются производная f'(x) и находятся ее нули и знак в промежутках между нулями. В том промежутке, где f'(x)>0, функция возрастает, где f'(x)<0 - убывают. Попутно выявляются локальные экстремумы функции.
4. Вычисляется вторая производная f''(x) и с ее помощью находятся промежутки выпуклости (f''(x)<0), вогнутости (f''(x)>0) и точка перегиба (f''(x)=0).
5. Определяются вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Рекомендуется вычислять значения самой функции в тех точках, где f'(x) и f''(x) обращаются в нуль и наносить соответствующие точки на график. Затем нанесеные точки плавно соединяется прямой с учетом всех результатов исследования. Если функция обладает свойством четности или нечетности, то можно использовать это обстоятельство при исследовании (или после исследования для частичной проверки правильности построения графика).
Похожие работы
... нельзя быть аморальным политиком. Средство борьбы против этого --- гласность. Ход исторического процесса --- антагонизм. b 10---------- 1. Теоретическое и обыденное сознание. Знание и мнение в древнегреческой философии. Акцент делать на этом вопросе. Общественное сознание - духовная, идеологическая жизнь общества, его мировозрение. Общественное сознание формируется и развивается вместе ...
... . — С 73-77. Лосев А. Ф. Типы античного мышления // Античность как тип культуры. — М., 1988. — С. 78-104. Луканин Р. К. Из истории античного опыта и эксперимента // Филос. науки. — 1991. — № 11. — С. 23-36. Луканин Р. К. Категории Аристотеля в истолковании западноевропейских философов // Путем Октября. — Махачкала, 1990. — С. 84-103. Луканин Р. К. "Среднее"— специфическое понятие аттической ...
... то целесообразно разработать комплекс заданий по развитию интеллектуальных способностей дошкольников и внедрить его в математический блок программы «Радуга». 2.2 Опытно-поисковые исследования по развитию интеллектуальных способностей средствами математики Для проверки выдвинутой гипотезы провели опытно-поисковые исследования. Опытно-поисковые исследования состояли из трех этапов. На первом ...
... руководителя. Большое внимание следует уделять мотивации управленческого труда. 56. Организационно-распорядительные методы управления (Или административные). С их помощью осуществляются регулирующие функции гос-ва. Основаны на исполнении обязательных предписаний и рекомендаций, позволяют оперативно воздействовать на ход событий в процессе упр-я, ср-во волевого и конкретного воздействия ( ...
0 комментариев