Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных

41. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.

Обратимся к формуле Тейлора (вопр. 11). Нас интересует случай, когда необходимые условия экстремума выполняются, т.к. в противном случае вопрос решается однозначно - экстремума нет. Поэтому будем считать:

И, перенеся f(х_0,y₀) в левую часть, получим слева

Кроме того, обозначим

Приводим к формуле:

Положим u = AΔx² + 2B∆xΔy +CΔy²При ρ→0 квадратичная форма u убывает со скоростью р², т.е. быстрее. Поэтому в достаточно малой окрестности точки (х₀,, y₀) ,будет выполнятся неравенство 1/2│u│>│R│(если u не обратится в нуль). Это означает, что знак приращения совпадает со знаком u. Разумеется, в точках, где u=0, знаки ∆f и R совпадают. Имеются 3 возможности:

1.     Величина u сохраняет знак, обращаясь в нуль только при ∆x=∆y=0. Такая квадратичная форма называется знакоопределенной. В этом случае сохраняет знак и приращение ∆f . При ∆f≤0 в точке (х₀,, y₀) имеется максимум, а при ∆f≥0 - минимум.

2.     В любой оокрестности точки (х₀,, y₀) величина u принимает как положительные, так и отрицательные значения. Такая квадратичная форма называется знакопеременной. В этом случае меняет знак и приращение ∆f . Экстремума нет.

3. Величина u сохраняет знак, но обращается в нуль не только в начале координат. Такая квадратичная форма называется знакопостоянной. В этом случае никакого вывода сделать нельзя без исследования остаточного члена. Если в точках названной прямой остаточный член меняет знак, то экстремума нет, если сохраняет тот же знак, что и величина u - экстремум есть, если сохраняет знак противоположный u - экстремума нет.

Дело свелось теперь к установлению условий, при которых квадратичная форма u является знакоопределенной, знакопеременной или знакопостоянной. Если А = С = 0, В ¹ 0, то u = В∆х∆у, и квадратичная форма является знакопеременной. При совпадении знаков ∆х и ∆у она имеет знак В, при несовпалении - знак противоположный знаку В. В этом случае экстремума нет. Если к тому же В = 0, вопрос об экстремуме решается путем исследования остаточного члена R в каждом конкретном случае.

Пусть теперь хотя бы одна из величин А, С отлична от нуля. Положим для определенности, что А ≠ 0. Преобразуем форму u: вынесем за скобки А, прибавим и вычтем (В¸А ∆у)². Первые три слагаемых представляют полный квадрат, два последних приводим к общему знаменателю:

1. Если В² - АС <0, то форма знакоопределенная. Действительно,

Поэтому выражение в квадратных скобках неотрицательно и может обратится в нуль только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Второе обращается в 0 лишь при ∆у=0. В этом случае первое слагаемое будет равно 0 только при ∆х=0. Очевидно, что знак знакоопределенной формы u совпадает со знаком числа А.

2. Если В² - АС >0, то форма знакопеременная. Действительно, выражение в квадратных скобках останется ∆x² и если ∆х≠0., то ∆x² > 0; при ∆у≠0 можно взять ∆х = -В/А∆у и выражение в квадратных скобках будет отрицательным.

3. Если В² - АС = 0, то форма знакопостоянная. В скобках останется выражение (∆х+В/А∆у)², которое неотрицательно. Но в нуль оно обращается не только при ∆х=∆у=0, а и тогда, когда ∆х = -В/А∆у, при любом ∆у.

33. Частные производные.

Наряду с полным приращением функции вводится понятие частных приращений по х ∆_хz и по у ∆_уz. Они определяются формулами, где приращение дается только одной из переменных.

Определение: Частной производной функции f(x,y) по х называется предел отношения частного приращения ∆_хz к приращению ∆х, когда х→0 (если этот предел существует)(1)

Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по у. Для частной производной функции нескольких переменных, производную функции одной переменной называют переменной иногда обыкновенной.

Формуле (1) можно дать такое толкование: у функции f(x,y) фиксируется значение переменной у и получается, что f(x,y) становится функцией одной переменной х, а частная производная - обыкновенной производной этой функции. Так же истолковывается формула для f'_y(x,y) с той разницей, что f(x,y) рассматривается как функция одной переменной у. Мы приходим к следующему правилу.

Для вычисления частной производной по х следует переменную у (или другие переменные, если их несколько) считать постоянной и вычислять производную по х как обыкновенную.

Аналогично формулируется правило вычисления частной производной по у.

32. Свойства непрерывных функций двух переменных.

1. Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области D а) ограничена в области

б) достигает в этой области наибольшего М и наименьшего m значений.

2. Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть снова непрерывная функция, если в последнем случае делитель не принимает нулевого значения.

Похожие работы

Шпора к канд. минимуму по философии

Скачать

369617

0

0

... нельзя быть аморальным политиком. Средство борьбы против этого --- гласность. Ход исторического процесса --- антагонизм. b 10---------- 1. Теоретическое и обыденное сознание. Знание и мнение в древнегреческой философии. Акцент делать на этом вопросе. Общественное сознание - духовная, идеологическая жизнь общества, его мировозрение. Общественное сознание формируется и развивается вместе ...

История западноевропейской философии

Скачать

161367

0

0

... . — С 73-77. Лосев А. Ф. Типы античного мышления // Античность как тип культуры. — М., 1988. — С. 78-104. Луканин Р. К. Из истории античного опыта и эксперимента // Филос. науки. — 1991. — № 11. — С. 23-36. Луканин Р. К. Категории Аристотеля в истолковании западноевропейских философов // Путем Октября. — Махачкала, 1990. — С. 84-103. Луканин Р. К. "Среднее"— специфическое понятие аттической ...

Развитие интеллектуальных способностей детей средствами математики

Скачать

196174

7

19

... то целесообразно разработать комплекс заданий по развитию интеллектуальных способностей дошкольников и внедрить его в математический блок программы «Радуга». 2.2 Опытно-поисковые исследования по развитию интеллектуальных способностей средствами математики Для проверки выдвинутой гипотезы провели опытно-поисковые исследования. Опытно-поисковые исследования состояли из трех этапов. На первом ...

Шпоры по Госам МСХА

Скачать

333055

3

8

... руководителя. Большое внимание следует уделять мотивации управленческого труда.    56. Организационно-распорядительные методы управления (Или административные). С их помощью осуществляются регулирующие функции гос-ва. Основаны на исполнении обязательных предписаний и рекомендаций, позволяют оперативно воздействовать на ход событий в процессе упр-я, ср-во волевого и конкретного воздействия ( ...