Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной
Нахождение асимптот графиков функции
Теорема о среднем значении для определенного интеграла
Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом
Интегралы с бесконечными пределами
Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных
Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл
Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла
Системы линейных уравнений. Правило Крамера
Сложение векторов, умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось. Коллиниарность и комплиментарность векторов
Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл
Условия || и ^ прямых на плоскости
Парабола
Навигация
Интегралы с бесконечными пределами
Шпоры по математическому анализу
56527
знаков
0
таблиц
0
изображений
30. Интегралы с бесконечными пределами.
Определение определенного интеграла по конечному промежутку [a,b] неприменимо к случаю бесконечного промежутка, например [a, +∞). Дело в том, что нельзя промежуток [a, +∞) разделить на конечное число частичных промежутков [xi, xi+1] конечной длины, чледовательно, нельзя составить сумму интегральную сумму. Понятие интеграла с бесконечным пределом вводится на основе понятий опредленного интеграла и понятия предела.
Определение: Предположим, что функция y=f(x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема в любом промежутке [a,b] (b>a). Если существует конечный предел
 |  | ||
То это предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке от а до +∞ и обозначают
Аналогично определяется интеграл от -∞ до b:
Интеграл от -∞ до +∞ можно определить так:
Где с - произвольное число.
Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.
40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.
Теорема: Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке (x0, у0). Если в этой точке существуют частные производные по х и по у, то они равны нулю.
Докаательство: Оно может быть сведено к применению известной теоремы для функции одной переменной. В наших условиях функция f(x,y0) имеет экстремум в точке x0, т.к. неравенство f(х0+∆х, y0+∆у)≤f(х0, y0), иначе ∆f≤0
Или ∆f≥0 должно, в частности, выполнятся и при ∆у=0. Поэтому, d/dx∙f(x,y0)=0 при х=х0, а это то же самое, что f'x(х0, y0)=0. Аналогично устанавливается, что f'у(х0, y0)=0. Экстремум возможен и тогда, когда одна или обе частные производные не существуют, что тоже является необходимым условием экстремума. Т.о., необходимые условия экстремума формулируются так: для каждой из частных производных выполняется одно из двух - лиюл она существует и равна нулю, либо она не существует.
31. Предел и непрерывность функции двух переменных.
Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции f(x,y) при стремлении х к х0 и у к у0, если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам │ х - х0 │< δ, │ y - y0 │< δ ( за исключением, быть может, точки (х0, y0)), выполняется неравенство │f(x,y)-A│ < ε. Применяется обозначение
Заметим, что точка (х0, y0) может не принадлежать ООФ f(x,y).
Пусть функция f(x,y) определена в области D.
Определение. Если выполняются три условия:
1. (х0, y0)Î D;
2. существует
3.
то функция называется непрерывной в точке (х0, y0).
Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию называют разрывной в точке (х0, y0), а саму точку называют точкой разрыва.
Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой плоскости.
Определение: Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке (х0, y0), если при стремлении к нулю приращений ∆х, ∆у, независимых переменных стремится к нулю полное приращение ∆z функции f(x,y) (здесь предполагается выполнение условий 1 и 2.) (∆z - полное приращение).
42. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа для функции двух переменных.
В этом методе не требуется выражать явно y через х , однако используется то обстоятельство, что в случае предполагаемой замены y на g(x) дело сводится к безусловному экстремуму функции одной переменной.
Итак, находим полную прозводную от z по х, считая y функцией х:
В точках экстремума dz: dx=0, следовательно (1),
Применим снова правило дифференцирования сложной функции к уравнению φ(x,y)=0. Будем предполагать при этом, что у заменен той самой функцией х, которая неявно задается уравнением. Такая замена превращает уравнение φ(x,y)=0 в тождество. Получим (2):
Умножим (2) на неопределенный множитель λ и сложим с (1):
 |
Мы будем предполагать, что в точке экстремума ¶j¸¶у¹0. Тогда существует число l, при котором ¶f¸¶y + l(¶j¸¶у) = 0 в этой точке. Из равенства (3) следует, что в этой точке ¶f¸¶х + l(¶j¸¶х) = 0
Мы приходим к необходимым условиям экстремума (4):
В этой системе из трех уранений три неизвестные величины x, y и l. Из системы находятся одна или несколько точек (х,у). Что касается l, то этот множитель играет вспомогательную роль и дальше не требуется. Найденные точки (х,у) проверяют на наличие в них экстремума и его вид (максимум или минимум). В случае необходимости вычисляются значения f(x,y) на концах промежутка, ограничивающего изменение х при описании кривой АВ. Часто из существа задачи легко решается вопрос, с каким из значений - наибольшим или наименьшим - мы имеем дело. Проведенные рассуждения обосновывают метод Лагранжа, который состоит в следующем.
Составляется вспомогательная функция
F (x,y,l) = f(x,y) + lj(x,y) (5), называемая функцией Лагранжа. Для нее выписываются как для функции трех переменных необходимые условия абсолютного экстремума:
При этом получается в точности система (4).
Коэффициент l называют множителем Лагранжа.
Метод Лагранжа допускает обобщение на функции большего числа переменных. Так, в задаче на условный экстремум функции u=f(x,y,z) с ограничениями j1(x,y,z)=0 и j2(x,y,z)=0 функция Лагранжа имеет вид:
F(x,y,z, l1, l2) = f(x,y,z) + l1j1(x,y,z)+ l2j2(x,y,z).
Нулю приравниваются все произвоные по x,y,z, l1, l2.
Похожие работы
... нельзя быть аморальным политиком. Средство борьбы против этого --- гласность. Ход исторического процесса --- антагонизм. b 10---------- 1. Теоретическое и обыденное сознание. Знание и мнение в древнегреческой философии. Акцент делать на этом вопросе. Общественное сознание - духовная, идеологическая жизнь общества, его мировозрение. Общественное сознание формируется и развивается вместе ...
... . — С 73-77. Лосев А. Ф. Типы античного мышления // Античность как тип культуры. — М., 1988. — С. 78-104. Луканин Р. К. Из истории античного опыта и эксперимента // Филос. науки. — 1991. — № 11. — С. 23-36. Луканин Р. К. Категории Аристотеля в истолковании западноевропейских философов // Путем Октября. — Махачкала, 1990. — С. 84-103. Луканин Р. К. "Среднее"— специфическое понятие аттической ...
... то целесообразно разработать комплекс заданий по развитию интеллектуальных способностей дошкольников и внедрить его в математический блок программы «Радуга». 2.2 Опытно-поисковые исследования по развитию интеллектуальных способностей средствами математики Для проверки выдвинутой гипотезы провели опытно-поисковые исследования. Опытно-поисковые исследования состояли из трех этапов. На первом ...
... руководителя. Большое внимание следует уделять мотивации управленческого труда. 56. Организационно-распорядительные методы управления (Или административные). С их помощью осуществляются регулирующие функции гос-ва. Основаны на исполнении обязательных предписаний и рекомендаций, позволяют оперативно воздействовать на ход событий в процессе упр-я, ср-во волевого и конкретного воздействия ( ...
0 комментариев