Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл

19. Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.

Определение: Пусть дана функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a,b] (a<b). Сделаем разбиение R этого отрезка точками х_i: а<х₀< x₁< x₂<…< x_n,=b. Обозначим
На каждом промежутке [x_i, x_i+1] выберем произвольную точку ξ_i. Величину

Называют интегральной суммой.

Если существует предел интегральной суммы s_R при  λ_R →0. Независящий от выбора разбиений R и выбора точек ξ_i, то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается (1)

Добавление к определению:

1. При a>b полагают

2. принимают

В интеграле (1) числа a и b называются соответственно нижними и верхними пределами интегрирования. Если функция f(x) ≥0 на отрезке [a,b], то геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной трапеции. Пусть на промежутке [a,b] задана ограниченная функция y=f(x), будем считать ее положительной.(рис 1)

Фигура aABb, ограниченная графиком функции y=f(x), отрезком [a,b] оси х и перпендикулярами аА и bB к оси х, называется криволинейной трапецией. Измерить ее площадь непосредственно путем установления того, сколько раз в этой фигуре укладывается единица измерения площади (квадрат со стороной, равной единице), и доли этой единицы невозможно из-за криволинейной верхней границы.

Разобьем отрезок [a,b] на части (не обязательно равные) точками х_i (i = 0,n): а=х₀< x₁< x₂<…< x_n=b. Это разбиение назовем R. Длину наибольшего отрезка назовем

На каждом из частичных отрезков [x_i, x_i+1] выберем произвольную точку

И построим прямоугольник с высотой f(ξ_i). В результате получится ступенчатая фигура, ограниченная сверху ломаной линией L. Ее площадь назовем s_R. Если теперь увеличивать число делений разбиения R так, что бы λ_R →0, то ломаная L будет все теснее прижиматься к кривой АВ. Это дает возможность ввести следующее определние.

Определение: Площадью криволинейной трапеции aAАb называется предел, к которому стремится площадь s_R ступенчатой фигуры когда число делений разбиения R не ограничено возрастает и λ_R →0 (Если этот предел существует и не зависит от способа получения разбиения R и выбора точек ξ_i).

28. Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла.

f(x)≥0

Рассмотрим два случая.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:

2. Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x) и y=g(x), а так же прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:
Определение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки M_i (i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной обозначим P_n. Будем увеличивать число точек M_i на дуге. Длиной дуги кривой АВ называется предел периметра P_n, когда длина наибольшей хорды стремится к нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной). Если дуга задана уравнением y=f(x) на промежутке [a,b] (ищем длину дуги l). Будем считать функцию f(x) непрерывно дифференцируемой. Положенеи произвольных точек M_i определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав разбиение R отрезка [a,b] точками а=х₀< x₁< x₂<…< x_n=b. Длину хорды, соединяющей точки M_i и M_i+1 обозначим ∆l_i.Ее проекциями на оси координат будут ∆х_i ∆у_i. Очевидно,

Покажем, как нахождение предела периметра P_n сводится к вычислению интеграла. Представим ∆l_i в нужном виде:

По формуле конечных приращений Лагранжа

Поставив это выражение ∆у_i в формулу ∆l_i, полуим

Таким образом (1),
Если составить интегральную сумму для функции

с полученными выше точками ξ_i, то придем к выражению (1), т.е.

кроме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆l_i влечет за собой стремление к нулю
поэтому

(если этот предел существует).

Но по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что

Подставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги: