Теорема о среднем значении для определенного интеграла

21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξÎ(a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при b<a.

Доказательство: Проведем его для случая a<b. Пусть m и M - наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a,b] (для непревной функции они существуют по теореме Вейерштраса). По следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства: (на этом следствие из теоремы закончилось, но к нему относится ниже написанное неравенство))

можно записать

Поделив это неравенство на полжительное число b-a, получим:

Непрерывная функция f(x) принимает всякое значение промежуточное между наименьшим m и наибольшим M значениями. Поэтому существует такое число x(a<x<b), что

Чтд.

22. Классы интегрируемых функций. Функция Дирихле.

интегрируемость не является свойством, присущим всем функциям. В этом убеждает следующий пример. Рассмотрим функцию f(x), называемой функцией Дирихле:

 

Сделаем произвольное разбиение R отрезка [a,b]. На любом частичном отрезке [x_i, x_i+1] найдетсяи как рациональная точка x_i. Так, и иррациональная точка h_i.Составим две интегральные суммы:s_R и

Пусть

При l_R →0 предел интегральных сумм вида :s_R равен b-a, в то время, как для
равен нулю. Итак, для интегральных сумм разного вида пределы получаются различные, зависящие от выбора точек на отрезках [x_i, x_i+1]. Это означает, что функция Дирихле не интегрируемая.

З класса функции:

1.     Функции непрерывные на отрезке [a,b].

2.     Функции имеющие не более конечного числа разрывов 1-го рода на отрезке [a,b]. (их называют кусочно-непрерывными)

3.     Функции монотонные на отрезке [a,b] (у функции этого класса число разрывов может быть бесконечным).

23. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности.

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

непрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆хÎ[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

a x₀ x х+∆х b

Получим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.