Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом

24. Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла

По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)

Доказательство: Дадим аргументу х приращение

∆х так, чтобы х+∆хÎ(a,b). Для приращения ∆F функции F(x) воспользуемся формулой

и применим теорему о среднем значении ( Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξÎ (a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при b<a.) получим:

Число x заключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х.

Перейдем к вычислению производной F'(x).

Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x) в любой точке х промежутка (a,b).

Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b), имеет первообразную на этом промежутке.

Действительно, первообразной для такой функции является функция

Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать:

 

25. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):

( в качестве числа х₀ взято число а).

В этом тождестве положим х=а и получим ,

Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:

26. Интегрирование по частям в определнном интеграле.

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.

В левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:
Получим:

Получим формулу интегрирования по частям:

27. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница

Получаем

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.