Теоретические основы решения уравнений

2.1. Теоретические основы решения уравнений

2.1.1. Основные понятия, относящиеся к уравнениям

Равенство вида

,  (1)

где  и  – некоторые функции, называют уравнением с одним неизвестным x (с одной переменной x). Это равенство может оказаться верным при одних значениях x и неверным при других значениях x.

Число a называется корнем (или решением) уравнения (1), если обе части уравнения (1) определены при  и равенство  является верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое является пересечением (общей частью) областей определения функций  и  и называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать в ОДЗ этого уравнения.

В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым (с точки зрения нахождения корней). Есть одно правило, которое не следует забывать при преобразовании уравнений: нельзя выполнять преобразования, которые могут привести к потере корней.

Назовем преобразование уравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании не происходит потери корней, то есть получается уравнение

, (2)

которое либо имеет те же корни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения (1), имеет хотя бы один корень, не являющийся корнем уравнения (1), посторонний для уравнения (1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.

Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Уравнения (1) и (2) называются равносильными (эквивалентными), если каждое из этих уравнений является следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны, если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот, каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными.

Если уравнения (1) и (2) равносильны, то пишут

 или (1)(2),

а если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то пишут

 или (1)(2).

Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось неравносильным ему следствием, то проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение является обязательной.

Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось равносильным, то проверка не нужна (не следует путать проверку с контролем вычислений).

Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

,  (3)

если выполнены следующие условия:

1)  каждый корень уравнения (1) является корнем, по крайней мере, одного из уравнений (3);

2)  любой корень каждого из уравнений (3) является корнем уравнения (1).

Если указанные условия выполнены, то множество корней уравнения (1) является объединением множеств корней уравнений (3).

Если уравнение записано в виде

, (4)

то каждое решение этого уравнения является решением, по крайней мере, одного из уравнений

(5)

Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений (5) есть корень уравнения (4).

Например, если , то  – корень уравнения , но число 3 не является корнем уравнения (4), так как функция  не определена при .

Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений  и , а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), то есть не принадлежат множеству, на котором определены функции  и . В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5). Справедливо более общее утверждение: если функция  определена при всех x таких, что , а функция  определена при всех x таких, что , то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). [18]

Похожие работы

Методика изучения неравенств

Скачать

37778

0

2

... на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...

Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

Скачать

123013

25

0

... на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах.   § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах.   При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта ...

Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

Скачать

46858

6

0

... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе   1.1.  Из истории возникновения квадратных ...

Методика изучения функций в школьном курсе математики

Скачать

20346

1

2

... числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе ...