Теоретические основы решения иррациональных неравенств

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
Теоретические основы решения уравнений Наиболее важные приемы преобразования уравнений Методы решения иррациональных уравнений Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств Метод введения новой переменной Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений Умножение обеих частей уравнения на функцию Использование ОДЗ Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений Теоретические основы решения иррациональных неравенств Умножение обеих частей неравенства на функцию Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций Использование графиков функций Рациональность дробно-линейных иррациональностей Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
98604
знака
5
таблиц
19
изображений

3.1. Теоретические основы решения иррациональных неравенств

Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: >, , <, , то получим иррациональное неравенство. [19] Поэтому под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня. [16]

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, то есть найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству. [16]

Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться. [8]

Например, возведя в квадрат:

-верное неравенство , мы получим верное неравенство ;

-верное неравенство , мы получим неверное неравенство ;

-неверное неравенство , мы получим верное неравенство ;

-неверное неравенство , мы получим неверное неравенство .

Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств.

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. [16]

 

3.2. Методы решения иррациональных неравенств

 

3.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств. [17]

Наиболее простые иррациональные неравенства имеют вид:

1)   или ;

2)   или ;

3)   или .

Иррациональное неравенство  или  равносильно системе неравенств

 или . (1)

Первое неравенство в системе (1) является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство  или  равносильно совокупности двух систем неравенств

 или . (2)

Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе – условие, при котором это можно делать.

Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства – арифметический корень – неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство  или  равносильно системе неравенств

 или . (3)

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство  выполняется при этом автоматически.

Схемы (1)–(3) – наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи. Разберем несколько примеров. [8]

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, а левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию .

Ответ. .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. В соответствии со схемой (1) решения неравенств этого типа, запишем равносильную ему систему рациональных неравенств

Условие  выполнено при всех x, и нет необходимости добавлять его к выписанной системе.

Ответ. .

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство решается при помощи схемы (2). В данном случае , поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному

.

Ответ. .

Пример 5. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство может быть решено при помощи схемы (1). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

.

Ответ. .

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство можно решать с помощью схемы (2). Оно равносильно совокупности двух систем

Ответ. .

Пример 7. Решить неравенство .

Решение. Согласно схеме (3), данное неравенство равносильно системе

 

Ответ.

Рассмотрим решение иррациональных неравенств следующего вида

.

Поскольку , , то должны выполнятся условия , ,  (соответственно ). На множестве, где эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству

(соответственно неравенству ), которое сводится к разобранным выше типам неравенств. [4]

Пример 8. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Решение исходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, то есть имеет вид .

Ответ. .

Теперь перейдем к решению более сложных задач, стараясь свести их решение к стандартным ситуациям – к простейшим неравенствам, рассмотренным выше. Приемы сведения во многом аналогичны приемам, применяемым при решении иррациональных уравнений.

Если в неравенстве встречаются два квадратных радикала, обычно приходится неравенство возводить в квадрат дважды, обеспечивая при этом необходимые для этой операции условия.

Пример 9. Решить неравенство .

Решение. Перенесем второй радикал в правую часть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными, и его можно было возвести в квадрат:

Мы пришли к простейшему стандартному неравенству, которое согласно схеме (1) равносильно системе:

Ответ. .

Замечание. При получении неравенства  мы не выписывали допустимые значения неизвестного, так как там фигурировал , который существует при , но при этих значениях  существует и .

Пример 10. Решить неравенство .

Решение. Начнем с отыскания допустимых значений неизвестного:

Заметим, что для избавления от радикала достаточно возвести данное неравенство в квадрат. Но для этого необходимо, чтобы обе части его были неотрицательны, что выполняется лишь при выполнении условия  (так как все остальные выражения, входящие в неравенство, неотрицательны). Но при этом условии можно умножить данное неравенство на положительное выражение .

Итак, если , данное неравенство преобразуется и решается так:

В том случае, когда , данное неравенство будет выполняться, так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой.

Ответ: .

Замечание. При решении последней задачи мы фактически получили такие новые схемы, легко выводимые из схем (1) и (2):

(4)

(5)

Если в правой части подобного неравенства стоит не единица, а любое другое число кроме нуля, можно естественно, поделить на него обе части неравенства и, в зависимости от знака этого числа, перейти к неравенствам из схем (4) или (5).

 


Информация о работе «Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики»
Раздел: Педагогика
Количество знаков с пробелами: 98604
Количество таблиц: 5
Количество изображений: 19

Похожие работы

Скачать
37778
0
2

... на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...

Скачать
123013
25
0

... на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах.   § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах.   При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта ...

Скачать
46858
6
0

... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе   1.1.  Из истории возникновения квадратных ...

Скачать
20346
1
2

... числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе ...

0 комментариев


Наверх