Теоретические основы решения уравнений
Наиболее важные приемы преобразования уравнений
Методы решения иррациональных уравнений
Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Метод введения новой переменной
Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений
Умножение обеих частей уравнения на функцию
Использование ОДЗ
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
Теоретические основы решения иррациональных неравенств
Умножение обеих частей неравенства на функцию
Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций
Использование графиков функций
Рациональность дробно-линейных иррациональностей
Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера
Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Навигация
Умножение обеих частей уравнения на функцию
Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
98604
знака
5
таблиц
19
изображений
2.2.5. Умножение обеих частей уравнения на функцию.
Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений. [6]
Пример 19. Решить уравнение 
.
Решение. Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию 
. Выражение 
называется сопряженным для выражения 
. Цель такого умножения ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.
В результате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению
,
которое равносильно совокупности уравнений
Уединив первый радикал второго уравнения совокупности, возведем его в квадрат и получим
Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств 
и 
пусто. Следовательно, уравнение 
решений не имеет. Значит, уравнение имеет единственный корень 
.
Подстановка в исходное уравнение показывает, что – корень.
Ответ: .
Впрочем, здесь можно было обойтись и без подстановки: функция 
нигде в нуль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения на эту функцию не приводит к появлению посторонних решений.
Пример 20. Решить уравнение 
. [9]
Решение. Умножим обе части уравнения на функцию 
. После преобразований получим уравнение
.
Оно имеет два корня: 
. Проверка показывает, что 
– посторонний корень (нетрудно видеть, – корень функции ). Таким образом, уравнение имеет единственный корень 
.
Ответ: .
2.2.6. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций
В школьном курсе математики изучаются свойства многих элементарных функций. Их иногда с успехом можно применять и при решении иррациональных уравнений. Рассмотрим несколько примеров.
1. Использование монотонности функции.
Если уравнение имеет вид
где 
возрастает (убывает), или
где и 
«встречно монотонны», т.е. возрастает, а убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удается заметить это или привести уравнение к такому виду и при этом нетрудно угадать корень, то он и будет решением данного уравнения. [9]
Пример 21. 
.
Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: 
. Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, – единственный корень.
Ответ: .
Пример 22. Решить уравнение 
.
Решение. Традиционный метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить, что – корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, – единственный корень.
Ответ: .
Пример 23. Решить уравнение 
.
Решение. Опять-таки имеем стандартное иррациональное уравнение. Тем не менее, не будем спешить возводить в квадрат. Так, 
, 
, значит 
(функция 
возрастающая), и левая часть исходного уравнения не меньше 2. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Корней нет.
Пример 24. Решить уравнение 
.
Решение. Поскольку 
и функция возрастающая, то 
. Следовательно, левая часть данного неравенства области определения принимает только отрицательные значения, то есть исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: Корней нет.
Пример 25. Решить уравнение 
.
Решение. Как и в предыдущих примерах, несложно обнаружить, что 
– корень. ОДЗ исходного уравнения – промежуток 
. Но теперь уже, в отличие от ранее рассмотренных задач, левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Однако снова легко заметить, что на 
указанная функция возрастает, причем корень принадлежит этому промежутку. Значит, на данное уравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции 
на отрезке 
. Очевидно, что при 
, а 
. Следовательно, на исходное уравнение корней не имеет.
Ответ. .
Похожие работы
... на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...
... на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта ...
... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе 1.1. Из истории возникновения квадратных ...
... числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе ...
0 комментариев