Теоретические основы решения уравнений
Наиболее важные приемы преобразования уравнений
Методы решения иррациональных уравнений
Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Метод введения новой переменной
Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений
Умножение обеих частей уравнения на функцию
Использование ОДЗ
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
Теоретические основы решения иррациональных неравенств
Умножение обеих частей неравенства на функцию
Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций
Использование графиков функций
Рациональность дробно-линейных иррациональностей
Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера
Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Навигация
Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
98604
знака
5
таблиц
19
изображений
2.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Проверка, осуществляемая подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может быть легко реализована, если проверяемые корни – «хорошие» числа, а для «громоздких» корней проверка может быть сопряжена со значительными вычислительными трудностями. Поэтому каждый образованный школьник должен уметь решать иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований, так как, выполняя равносильные преобразования, можно не опасаться ни потери корней, ни приобретения посторонних решений. [17]
Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида 
состоит в переходе к равносильной ему системе:
Неравенство 
в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки. [17]
Школьники довольно часто добавляют к этой системе неравенство 
. Однако этого делать не нужно и даже опасно, поскольку условие автоматически выполняется для корней уравнения 
, в правой части которого стоит неотрицательное выражение. [9]
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение. Это уравнение равносильно системе
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
.
Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.
Ответ. 
.
Полезно запомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений 
. Такое уравнение равносильно каждой из двух систем
Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие 
. Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство 
(или ). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще. [9]
Пример 4. Решить уравнение 
.
Решение. Это уравнение равносильно системе
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Однако при этих значениях x не выполняется неравенство 
, и потому данное уравнение не имеет корней.
Ответ. Корней нет.
2.2.2. Метод уединения радикала
При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде 
. Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал справа исчезнет. [4]
Пример 5. Решить уравнение 
Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению 
. Это уравнение равносильно системе
Решая первое уравнение этой системы, получим корни 
и 
, но условие 
выполняется только для 
.
Ответ. .
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение
,
равносильное исходному.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
, 
.
Последнее уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению
,
.
Это уравнение является следствием уравнения исходного уравнения и имеет корни 
, 
. Первый корень удовлетворяет исходному уравнению, а второй – не удовлетворяет.
Ответ. 
.
Похожие работы
... на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...
... на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта ...
... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе 1.1. Из истории возникновения квадратных ...
... числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе ...
0 комментариев