Теоретические основы решения уравнений
Наиболее важные приемы преобразования уравнений
Методы решения иррациональных уравнений
Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Метод введения новой переменной
Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений
Умножение обеих частей уравнения на функцию
Использование ОДЗ
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
Теоретические основы решения иррациональных неравенств
Умножение обеих частей неравенства на функцию
Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций
Использование графиков функций
Рациональность дробно-линейных иррациональностей
Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера
Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Навигация
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
98604
знака
5
таблиц
19
изображений
3. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения. [17]
Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.
I. Пример 30. Решить уравнение 
.
Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью «преобразования» 
. Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что 
. Здесь необходимо применить формулу 
. Уравнение теперь легко решается
.
Ответ. 
.
Рассмотрим «обратное» преобразование.
Пример 31. Решить уравнение 
.
Решение. Здесь применима формула
.
Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии 
. Поэтому исходное уравнение равносильно системе
Решая уравнение этой системы, получим корни 
и 
. Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.
Ответ. 
.
II. Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой
.
Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции 
и 
должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение. [17]
Пример 32. Решить уравнение 
.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и произведем приведение подобных членов, перенос слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 
. В результате получим уравнение
,
являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение
,
которое приводится к виду
.
Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни 
, 
. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ. , .
Замечание. При возведении уравнения в квадрат учащиеся нередко в уравнении типа 
из Примера 32 производят перемножение подкоренных выражений, то есть вместо такого уравнения пишут уравнение
.
Такое «склеивание» не приводит к ошибкам, поскольку такое уравнение является следствием уравнения . Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения. Поэтому в рассмотренном выше примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения, то есть уединить один радикал. Тогда в левой части уравнения останется один радикал, и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональное выражение. [3]
Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы 
.
Пример 33. Решить уравнение 
.
Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители
.
Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение 
, так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: 
не имеет смысла при . Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат
Решая уравнение этой системы, получим корни 
и 
. Оба корня удовлетворяют неравенству системы
Ответ. 
, 
.
Вывод. Есть два пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.
III. Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель. [17]
Пример 34. Решить уравнение 
.
Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на 
, получим
.
Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения 
было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения 
. Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.
Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители
.
Это уравнение равносильно системе
которая имеет единственное решение .
Ответ. .
§ 3. Методика решения иррациональных неравенств
Иррациональные неравенства – довольно сложный раздел школьного курса математики, а если учесть, что на его изучение отведено крайне мало времени, то становится ясно, что учащиеся как правило это раздел не усваивают. Даже у тех учащихся, что успешно решают иррациональные уравнения, часто возникают проблемы при решении иррациональных неравенств. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.
Похожие работы
... на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...
... на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта ...
... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе 1.1. Из истории возникновения квадратных ...
... числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе ...
0 комментариев