Теоретические основы решения уравнений
Наиболее важные приемы преобразования уравнений
Методы решения иррациональных уравнений
Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Метод введения новой переменной
Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений
Умножение обеих частей уравнения на функцию
Использование ОДЗ
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
Теоретические основы решения иррациональных неравенств
Умножение обеих частей неравенства на функцию
Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций
Использование графиков функций
Рациональность дробно-линейных иррациональностей
Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера
Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Навигация
Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
98604
знака
5
таблиц
19
изображений
5. Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]
1). Если в уравнение входит радикал 
, то можно сделать замену 
, 
или 
, 
.
2). Если в уравнение входит радикал 
, то можно сделать замену 
tg t, 
или 
ctg t, 
.
3). Если в уравнение входит радикал 
, то можно сделать замену 
, или 
, .
Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение. В данное уравнение входит выражение 
, поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену
tg t, где .
Тогда выражение , входящее в уравнение, можно преобразовать
и исходное уравнение можно записать в виде
.
Поскольку 
не равен нулю при рассматриваемых значениях t, то полученное уравнение равносильно уравнению
.
Решая это уравнение, находим два возможных значения
и 
.
Из всех корней этих уравнений промежутку принадлежит единственное значение 
.
Поэтому соответствующее значение x равно
.
Ответ. 
.
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение. В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка 
, что приводит к мысли совершить замену
, где 
.
В результате такой замены приходим к уравнению
.
Учтем, что
и 
,
получим уравнение
.
В силу ограничения выполнено 
, поэтому приходим к уравнению
,
которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду
.
Решая последнее уравнение, находим
или 
, 
.
Условию удовлетворяют лишь три значения
, 
, 
.
Поэтому
, 
, 
.
Ответ. , , 
.
В заключение нужно отметить, что способ рационализации успешно может быть применён также для рационализации иррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональных выражений и так далее.
Похожие работы
... на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...
... на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта ...
... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе 1.1. Из истории возникновения квадратных ...
... числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе ...
0 комментариев