Теоретические основы решения уравнений
Наиболее важные приемы преобразования уравнений
Методы решения иррациональных уравнений
Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Метод введения новой переменной
Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений
Умножение обеих частей уравнения на функцию
Использование ОДЗ
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
Теоретические основы решения иррациональных неравенств
Умножение обеих частей неравенства на функцию
Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций
Использование графиков функций
Рациональность дробно-линейных иррациональностей
Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера
Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Навигация
Умножение обеих частей неравенства на функцию
Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
98604
знака
5
таблиц
19
изображений
3.2.2. Умножение обеих частей неравенства на функцию
Выражения 
и 
называются сопряженными друг другу. Заметим, что их произведение 
уже не содержит корней из 
и 
. Поэтому в ряде задач вместо возведения в квадрат, приводящего к слишком громоздким выражениям, разумнее умножить обе части неравенства на выражение, сопряженное одной из них.
Пример 11. Решить неравенство 
.
Решение. Найдем ОДЗ:
Умножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно, положительное в ОДЗ:
Дальнейшее решение зависит, очевидно, от знака общего множителя левой и правой частей полученного неравенства 
.
Если он меньше нуля, то есть 
, сократив на этот отрицательный множитель, переходим к неравенству:
,
из которого находим прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) 
Во втором случае, если общий множитель положителен (то есть при 
), после сокращения на него получаем неравенство
,
из которого прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) получаем, что оно справедливо при .
Осталось указать, что в третьем возможном случае – если общий множитель равен нулю, – неравенство не выполняется: мы получаем тогда 
, что неверно.
Ответ: 
.
3.2.3. Метод введения новой переменной
Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться метод введения новой переменной.
Иногда удается иррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным. [24]
Пример 12. Решить неравенство 
.
Решение. Перепишем исходное уравнение 
.
Сделаем замену 
, 
. Тогда получим
Таким образом, для определения 
получаем совокупность неравенств
Ответ. 
.
Пример 13. Решить неравенство 
.
Решение. Введем новую переменную 
, 
.
Тогда 
и для переменной t получаем рациональное неравенство
.
Осталось сделать обратную замену и найти :
Ответ. 
.
Похожие работы
... на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...
... на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта ...
... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе 1.1. Из истории возникновения квадратных ...
... числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе ...
0 комментариев