Теоретические основы решения уравнений
Наиболее важные приемы преобразования уравнений
Методы решения иррациональных уравнений
Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Метод введения новой переменной
Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений
Умножение обеих частей уравнения на функцию
Использование ОДЗ
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
Теоретические основы решения иррациональных неравенств
Умножение обеих частей неравенства на функцию
Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций
Использование графиков функций
Рациональность дробно-линейных иррациональностей
Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера
Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Навигация
Рациональность дробно-линейных иррациональностей
Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
98604
знака
5
таблиц
19
изображений
2. Рациональность дробно-линейных иррациональностей
Аналогично предыдущему доказывается, что функция вида
, (3)
где 
, 
, 
и 
– некоторые постоянные, а 
– любое целое положительное число (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии 
приведена к рациональному виду подстановкой
(4)
Иррациональная функция
(5)
рационализируется при помощи подстановки
(6)
где 
– наименьшее общее кратное показателей радикалов , 
, …
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение. Будем искать корни данного уравнения в области 
(очевидно, что числа 
и 
не являются его корнями). Разделим обе части уравнения на 
:
.
Полученное уравнение в рассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки
сводится к смешанной системе
эквивалентной ему в этой области. Определив решения этой системы 
и 
и воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.
Ответ: 
.
3. Рационализация биноминальных выражений
Можно доказать, что выражение
,
(7)
где и – постоянные, а показатели степеней , – некоторые рациональные числа, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях, когда оказывается целым одно из чисел 
, 
или 
.
В этих случаях возможны следующие подстановки:
Если – целое, то 
, где – наименьшее общее кратное знаменателей чисел и .
Если – целое, то 
, где 
– знаменатель числа .
Если – целое, то 
, где 
– знаменатель числа .
Существование указанных трех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения к рациональному виду уравнений 
в первом случае и 
во втором и третьем случаях.
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение. Так как 
– не является корнем уравнения, разделим обе его части на 
. Выделяется биномиальное выражение:
.
Имеет место третий случай рационализации (
и 
– целое число). Следовательно, будем применять подстановку 
. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим 
, так что 
. Теперь с помощью подстановки и найденного значения 
получаем
и исходное иррациональное уравнение приводится к рациональному 
, или 
. Определив корни этого уравнения 
, 
и воспользовавшись подстановкой, находим 
Ответ:
Похожие работы
... на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...
... на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта ...
... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе 1.1. Из истории возникновения квадратных ...
... числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе ...
0 комментариев