Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

"Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства"

Гомель 2005

Введение

В обыденной речи мы часто говорим об одинаковости (о равенстве) каких-то объектов (предметов, множеств, абстрактных категорий), не заботясь о надлежащем уточнении смысла, который мы вкладываем в слово "одинаковый". В главе первой попробуем выявить и раскрыть понятие "одинаковости", определим термины "эквивалентность" и "отношение эквивалентности".

Не менее важной является ситуация, когда нам приходится устанавливать сходство объектов. Если одинаковость объектов означает их взаимозаменимость в некоторой ситуации, то сходство – это частичная взаимозаменимость, т.е. возможность взаимной замены с некоторыми (допустимыми в данной ситуации) потерями, с допустимым риском. Во второй главе попробуем раскрыть понятие "толерантности" на базе таких терминов, как "одинаковость" и "сходство" объектов.

А в третьей главе подробнее рассмотрим применение понятий отношений эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека.

Реферат

Курсовая работа содержит: 41 страница, 3 источника, 1 приложение.

Ключевые слова: отношение эквивалентности, отношение толерантности, одинаковость, сходство, взаимозаменимость, классы эквивалентности, пространство толерантности, классы толерантности, предкласс, базис.

Объект исследования: отношения эквивалентности и толерантности.

Предмет исследования: свойства отношений эквивалентности и толерантности.

Цель работы: используя рекомендуемую литературу рассмотреть понятия отношений эквивалентности и толерантности; рассмотреть приложения этих понятий в различных областях знаний и практики человека.

Методы исследования: методы теории множеств и теории отношений.

Задачами курсовой работы являются: изучить свойства отношений эквивалентности и толерантности и их приложения в конкретных областях знаний.

1. Отношение эквивалентности

1.1 Определение и примеры

1.1.1 Определение

Систему непустых подмножеств  множества  мы будем называть разбиением этого множества, если

1)  и

2)  при .

Сами множества  называются при этом классами данного разбиения.

1.1.2 Определение

Отношение  на множестве  называется эквивалентностью (или отношением эквивалентности), если существует разбиение  множества  такое, что соотношение  выполняется тогда и только тогда, когда  и  принадлежат некоторому общему классу  данного разбиения.

Пусть  – разбиение множества . Определим, исходя из этого разбиения, отношение  на : , если  и  принадлежат некоторому общему классу  данного разбиения. Очевидно, отношение  является эквивалентностью. Назовем  отношением эквивалентности, соответствующим исходному разбиению.

Например, разбиение состоит из подмножеств множества , содержащих ровно по одному элементу. Соответствующее отношение эквивалентности есть отношение равенства . Наконец, если разбиение множества  состоит из одного подмножества, совпадающего с самим , то соответствующее отношение эквивалентности есть полное отношение: любые два элемента являются эквивалентными.

Пустое отношение (на непустом множестве!) не является эквивалентностью.

Мы подошли к эквивалентности через понятие взаимозаменимости. Но что значит, что два объекта  и  взанмозамепимы в данной ситуации? Это всегда можно понимать так, что каждый из них содержит всю информацию о другом объекте, небезразличную в данной ситуации. Это утверждение означает только то, что взаимозаменимость объектов есть совпадение признаков, существенных в данной ситуации.

Например, пусть мы считаем одинаковыми автомобили, выпущенные в одной и той же серии одним и тем же заводом. Тогда, разобрав один экземпляр "Волги", мы в принципе можем составить комплект рабочих чертежей, который годится для выпуска однотипных "Волг". Однако, изучив один экземпляр "Волги", мы не можем угадать окраску кузова или характер вмятин на бампере у других односерийных экземпляров.

Когда мы выбираем из комплекта одну шахматную фигуру, то мы знаем, куда ее можно поставить в начальной позиции и как ходят, все взаимозаменяемые с ней, т.е. одноименные и одноцветные, фигуры.

Пусть теперь задано разбиение  множества . Выберем в каждом множестве  некоторый содержащийся в нем элемент . Этот элемент мы будем называть эталоном для всякого элемента , входящего в то же множество . Мы будем – по определению – полагать выполненным соотношение . Так определенное отношение  назовем отношением "быть эталоном".

Легко видеть, что эквивалентность , соответствующая исходному разбиению, может быть определена так: , если  и  имеют общий эталон:  и .

Ясно, что любое отношение эквивалентности может быть таким образом определено с помощью отношения "быть эталоном" и, наоборот, любое отношение "быть эталоном" определяет некоторую эквивалентность.

Пусть  – отношение эквивалентности, а  – такое отношение "быть эталоном", что  выполнено в том и только том случае, когда  и  имеют общий эталон .

Иначе говоря,  равносильно существованию такого , что  и . Поскольку , это означает, что . Иначе говоря, эквивалентность можно алгебраически выразить через более простое отношение "быть эталоном". Отношение  на множестве из  элементов можно задать графом, имеющим ровно  стрелок, где  – число классов эквивалентности: каждый элемент соединяется со своим единственным эталоном. Граф, изображающий отношение эквивалентности, состоит из  полных подграфов, содержащих по , вершин . Таким образом, общее число ребер в этом графе равно .

Рассмотрим в качестве  множество всех целых неотрицательных чисел и возьмем его разбиение на множество  четных чисел и множество  нечетных чисел. Соответствующее отношение эквивалентности на множестве целых чисел обозначается так:  и читается:  сравнимо с  по модулю 2. В качестве эталонов здесь естественно выбрать 0 – для четных чисел и 1 – для нечетных чисел. Аналогично, разбивая то же множество  на  подмножеств , где  состоит из всех чисел, дающих при делении на  и остатке , мы придем к отношению эквивалентности: , которое выполняется, если  и  имеют одинаковый остаток при делении на . В качестве эталона в каждом  естественно выбрать соответствующий остаток .

Похожие работы

Проблемы толерантности в современном обществе

Скачать

102605

4

0

... чем «я», делает мировосприятие более многомерным, целостным, а значит более адекватным реальности [10, c.23-27]. Глава 2. Государственно-правовое регулирование проблем толерантности в современном обществе   2.1 Анализ правовых актов по проблемам толерантности В Декларации о ликвидации всех форм дискриминации на основе религии или убеждений, которая была принята Генеральной Ассамблеей ООН 25 ...

Кибернетика

Скачать

107976

3

5

... сигналов, передающихся от одного живого организма другому (от родителей - потомкам) или от одних клеток, тканей, органов другим в процессе развития особи; 6.   в математике, кибернетике – количественная мера устранения энтропии (неопределенности), мера организации системы; 7.         в философии – свойство материальных объектов и процессов сохранять и порождать определенное состояние, которое в ...

Современные разработки в психологии

Скачать

611708

8

6

... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...

Объекты нечисловой природы

Скачать

33860

0

1

... N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств. Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон ...