Формальные свойства эквивалентности
Теорема
Теорема
Теорема
Лемма
Лемма
Отношения эквивалентности на числовой прямой
Пример
Операции над толерантностями
Определение
Лемма
Лемма
Лемма
Определение
Определение
Дальнейшее исследование структуры толерантностей
Теорема
Теорема
Та же ситуация для зацепленных циклических графов (см. рис. 6)
Приложение понятий эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека
Навигация
Лемма
Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства
66989
знаков
0
таблиц
0
изображений
1.3.5 Лемма
Для любых отношений 
, 
(8)
(9)
(8) вытекает из 
. (9) доказывается аналогично.
1.3.5 Лемма
Для любых транзитивных отношений , , 
из 
и 
вытекает 
.
Доказательство теоремы 1.3.4. Из леммы 1.3.5
(10)
(11)
Из (10) и (11)
(12)
Из леммы 1.3.5
(13)
Из (12), (13), леммы 1.3.5 и того, что любое отношение вида 
транзитивно,
(14)
Подобно тому как доказывается (12), доказывается
(15)
Подобно тому как мы из (13) и (13) вывели (14), из (14) и (15) выводится
(16)
Из (16) и аналогично доказываемого "обратного" включения вытекает (7). Теорема доказана.
Нетрудно убедиться, что для любой эквивалентности 
(17)
где 
– диагональное отношение.
Покажем теперь, что операция 
не дает ничего нового:
Если и 
– эквивалентности, то
(18)
Доказательство. Заметим сначала, что, учитывая лемму 1.3.4, 
Применяя транзитивное замыкание к обеим частям, ввиду свойства монотонности транзитивного замыкания имеем
(19)
Далее, применяя распределительный закон получим
(20)
Мы использовали здесь тот факт, что для рефлексивного выполнено включение 
, а следовательно, 
. Запишем теперь выражение для транзитивного замыкания, используя (20):
Отсюда ясно, что 
, т.е.
(21)
Сравнивая включения (19) и (21) получим искомое соотношение (18).
Отсюда вытекает следующий результат, также принадлежащий Шику:
1.3.6 Теорема
Если и – эквивалентности и 
, то
(22)
В самом деле, по теореме 1.3.3 произведение 
является эквивалентностью, а стало быть отношение 
совпадает со своим транзитивным замыканием 
. Но тогда из теоремы 1.3.5 следует (22).
Похожие работы
... чем «я», делает мировосприятие более многомерным, целостным, а значит более адекватным реальности [10, c.23-27]. Глава 2. Государственно-правовое регулирование проблем толерантности в современном обществе 2.1 Анализ правовых актов по проблемам толерантности В Декларации о ликвидации всех форм дискриминации на основе религии или убеждений, которая была принята Генеральной Ассамблеей ООН 25 ...
... сигналов, передающихся от одного живого организма другому (от родителей - потомкам) или от одних клеток, тканей, органов другим в процессе развития особи; 6. в математике, кибернетике – количественная мера устранения энтропии (неопределенности), мера организации системы; 7. в философии – свойство материальных объектов и процессов сохранять и порождать определенное состояние, которое в ...
... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...
... N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств. Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон ...
0 комментариев