1.4 Отношения эквивалентности на числовой прямой
Пусть задано отношение на множестве . В случае, когда – числовая прямая, отношение отождествляется с некоторым подмножеством числовой плоскости, т.е. прямого произведения . В этом параграфе будут рассмотрены геометрические свойства множества на плоскости в случае, когда отношение есть эквивалентность.
Согласно определению 1.2.1 отношение называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Каждое из этих свойств порождает некоторое геометрическое свойство множества . Координаты точки на плоскости будем обозначать .
1. Рефлексивность. Из того, что для всех , следует, что множество содержит главную диагональ (свойство ).
2. Симметричность. Симметричность означает, что если , то и , т.е. что множество симметрично относительно главной диагонали (свойство ).
3. Транзитивность. Транзитивность означает, что если и , то и . Точка является четвертой вершиной прямоугольника, три вершины которого находятся в точках и . Заметим, что вершина лежит на биссектрисе координатного угла – главной диагонали координатной плоскости. Поэтому геометрически свойство транзитивности можно сформулировать следующим образом:
Множество на плоскости определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого лежит на главной диагонали, а две соседние с вершины принадлежат , вершина , противоположная , также принадлежит (свойство ).
Замечание. Если отношение является симметричным, то геометрическая формулировка транзитивности несколько упрощается. А именно:
Множество на плоскости, симметричное относительно главной диагонали, определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого лежит на главной диагонали, а две другие принадлежат , четвертая вершина также принадлежит (свойство ).
Разница с предыдущим утверждением состоит в том, что вершины, принадлежащие , не обязаны быть соседними с вершиной, лежащей на диагонали. Покажем, что для симметричного свойство , влечет . Пусть, например, вершина, лежащая на диагонали, имеет координаты и и ; покажем, что . В самом деле, в силу симметрии, вместе с имеем . Если в качестве вершины на диагонали взять теперь , а в качестве соседних с ней вершин, принадлежащих , и , то, в силу свойства получаем .
Заметим, что класс эквивалентности, содержащий точку , есть проекция пересечения множества и прямой на ось ординат.
Сейчас мы приведем некоторые примеры множеств на плоскости, определяющих отношение эквивалентности.
1 Пример. (тривиальный). Множество вся плоскость. Выполнение свойств , , очевидно. Все точки исходной прямой отождествляются, т.е. входят в один класс эквивалентности.
Замечание. Для любого , если множество , определяющее отношение эквивалентности, содержит полосу , то оно совпадает со всей плоскостью. В самом деле, вместе с любой точкой множество содержит все внутренние точки квадрата с вершинами , , , , т.е. полосу . Ясно, что таким образом свойство "принадлежать " распространяется на все точки плоскости.
2 Пример. (периодичность). Возьмем которое число. Пусть множество состоит из прямых , где – произвольное целое число. Выполнение свойств и очевидно, и если , , то .
3 Пример. "Все константы равны единице, кроме нуля". (Такое утверждение высказал И.М. Гельфанд на одной из своих лекций.) В этом примере множество есть вся плоскость с выброшенными осями координат и добавленным началом координат. Иначе говоря, всегда, кроме случая , и ему симметричного. Если точки , принадлежат , то либо , и тогда , , либо , и тогда и . В обоих случаях .
4 Пример. (Все целые числа равны друг другу.) Множество состоит из главной диагонали и всех точек с целыми координатами.
Очевидно, можно рассматривать и конечные варианты такой эквивалентности типа
5 Пример. (Все числа, не большие единицы по модулю, равны друг другу.) Множество состоит из диагонали и замкнутого единичного квадрата. Очевидно, множество, состоящее из открытого (или полузамкнутого: ) квадрата, также дает эквивалентность.
2. Отношение толерантности
2.1 Определения, примеры, свойства
2.1.1 Определение
Отношение на множестве называется толерантностью или отношением толерантности, если оно рефлексивно и симметрично.
Пример. Множество состоит из четырехбуквенных русских слов – нарицательных существительных в именительном падеже. Будем называть такие слова сходными, если они отличаются не более чем на одну букву. Известная задача "Превращение мухи в слона" в точных терминах формулируется так:
Найти такую последовательность слов, начинающуюся словом "муха" и кончающуюся словом "слон", любые два соседних слова в которой сходны (в смысле только что данного определения).
Приведем решение этой задачи: Муха – мура – тура – тара – кара – каре – кафе – кафр – каюр – каюк – крюк – крок – срок – сток – стон – слон.
... чем «я», делает мировосприятие более многомерным, целостным, а значит более адекватным реальности [10, c.23-27]. Глава 2. Государственно-правовое регулирование проблем толерантности в современном обществе 2.1 Анализ правовых актов по проблемам толерантности В Декларации о ликвидации всех форм дискриминации на основе религии или убеждений, которая была принята Генеральной Ассамблеей ООН 25 ...
... сигналов, передающихся от одного живого организма другому (от родителей - потомкам) или от одних клеток, тканей, органов другим в процессе развития особи; 6. в математике, кибернетике – количественная мера устранения энтропии (неопределенности), мера организации системы; 7. в философии – свойство материальных объектов и процессов сохранять и порождать определенное состояние, которое в ...
... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...
... N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств. Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон ...
0 комментариев