Формальные свойства эквивалентности
Теорема
Теорема
Теорема
Лемма
Лемма
Отношения эквивалентности на числовой прямой
Пример
Операции над толерантностями
Определение
Лемма
Лемма
Лемма
Определение
Определение
Дальнейшее исследование структуры толерантностей
Теорема
Теорема
Та же ситуация для зацепленных циклических графов (см. рис. 6)
Приложение понятий эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека
Навигация
Теорема
Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства
66989
знаков
0
таблиц
0
изображений
1.3.2 Теорема
Для того чтобы объединение 
эквивалентностсй 
и 
само было отношением эквивалентности, необходимо и достаточно, чтобы и были когерентными.
Нам понадобятся некоторые простые свойства разбиений на классы эквивалентности, которые мы сформулируем в виде самостоятельных лемм. Мы будем далее использовать некоторые словесные сокращения. Если – эквивалентность и 
, то мы будем говорить, что 
и 
-эквивалентны. Разбиение, соответствующее эквивалентности , мы будем называть -разбиением; -классами и т.п.
Лемма. Для того чтобы 
, необходимо и достаточно, чтобы каждый -класс содеожался в некотором -классе.
Действительно, если , то из следует 
. Зчачит, множество всех , -эквивалентных элементу , содержится во множестве всех , -эквивалентных этому . Обратный вывод столь же очевиден.
Для того чтобы 
необходимо и достаточно, чтобы каждый -класс 
содержал любой -класс 
, имеющий с непустое пересечение.
Для доказательства необходимости выберем произвольный элемент 
. По предыдущей лемме целиком содержится в некотором классе 
. Но если бы был бы отличен от , то элемент был бы сразу в двух классах -разбиения, что невозможно. Значит, 
. Для доказательства достаточности нужно только вспомнить, что из 
по условию вытекает , и применить лемму 1.3.1.
Для того чтобы эквивалентности и были когерентными, необходимо и достаточно, чтобы всякий -класс либо содержался в некотором -классе , либо целиком содержал любой -класс , имеющий с непустое пересечение.
Доказательство. Eсли и когерентны, то 
, 
и на 
, имеем , а на 
. Тогда по лемме 1.3.1 для каждого класса , содержащегося в , существует такой класс 
, что 
. По лемме 1.3.2 каждый класс , содержащийся в , целиком содержит любой класс , имеющий с непустое пересечение. Поскольку и не пересекаются, из (1) вытекает, что всякий класс эквивалентности содержится либо в , либо в ; значит, наше рассуждение охватывает все классы.
Проведем доказательство в обратную сторону. Пусть каждый класс обладает сформулированным в лемме 1.2.3 свойством. Обозначим через объединение всех тех классов , для которых существует такой , что , а через – объединение остальных классов . Ясно, что , 
и 
, 
, где 
и 
– сужения отношений и на 
. Наконец, очевидно, что 
и 
, т.е. и когерентны.
Теперь мы подготовили все необходимое для доказательства теоремы 1.3.1. Будем вести доказательство от противного, т.е. предположим, что и не когерентны. Тогда по лемме 1.3.3 существует класс и класс такиее, что , но не один из них не содержит другой. Значит, существуетвует 
, существует 
, существует 
. Имеем следующие соотношения: и 
, следовательно, 
и 
. По транзитивности должно было бы быть также 
. Однако, соотношения: 
и 
– оба не выполнены, так как не лежит с 
ни в общем -классе, ни в общем -классе. Значит, соотношение не выполнено. Полученное противоречие доказывает теорему.
Замечание. Понятие когерентности имеет смысл для любых отношений и . Но для эквивалентностей когерентность отношений и легко формулируется в терминах классов эквивалентности (лемма 1.3.3).
Похожие работы
... чем «я», делает мировосприятие более многомерным, целостным, а значит более адекватным реальности [10, c.23-27]. Глава 2. Государственно-правовое регулирование проблем толерантности в современном обществе 2.1 Анализ правовых актов по проблемам толерантности В Декларации о ликвидации всех форм дискриминации на основе религии или убеждений, которая была принята Генеральной Ассамблеей ООН 25 ...
... сигналов, передающихся от одного живого организма другому (от родителей - потомкам) или от одних клеток, тканей, органов другим в процессе развития особи; 6. в математике, кибернетике – количественная мера устранения энтропии (неопределенности), мера организации системы; 7. в философии – свойство материальных объектов и процессов сохранять и порождать определенное состояние, которое в ...
... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...
... N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств. Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон ...
0 комментариев