Формальные свойства эквивалентности
Теорема
Теорема
Теорема
Лемма
Лемма
Отношения эквивалентности на числовой прямой
Пример
Операции над толерантностями
Определение
Лемма
Лемма
Лемма
Определение
Определение
Дальнейшее исследование структуры толерантностей
Теорема
Теорема
Та же ситуация для зацепленных циклических графов (см. рис. 6)
Приложение понятий эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека
Навигация
Лемма
Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства
66989
знаков
0
таблиц
0
изображений
1.3.4 Лемма
Если 
и 
рефлексивны, то
(3)
Доказательство. Если 
, то, в силу 
, выполнено и соотношение 
, т.е. 
. Аналогично получается 
. Из этих двух включений следует (3).
Теорема. Для того чтобы объединение 
эквивалентностей и само было отношением эквивалентности, необходимо и достаточно, чтобы
(4)
Доказательство. Пусть – эквивалентность. По лемме 1.3.4 выполняется (3). Для доказательства (4) остается доказать
(5)
Пусть . Тогда для некоторого 
имеем 
и 
. Следовательно, 
и 
. Значит, и (5) доказано. Пусть теперь выполнено (4). Отношение симметрично. По (4) тогда симметрично и ортношение 
. 
. По теореме 1.3.3 (см. ниже) получаем, что отношение – эквивалентность. Из (4) вытекает, что и – эквивалентность. Теорема доказана.
Условие, при котором произведение двух отношений эквивалентности и само является эквивалентностью, было получено чешским математиком Шиком в 1954 г.
Для того чтобы произведение отношений эквивалентности и было эквивалентностью, необходимо и достаточно, чтобы и коммутировали.
Доказательство. Пусть сначала
(6)
рефлексивно. симметрично. Транзитивность произведения доказывается так: 
– здесь мы использовали ассоциативный закон для произведения отношений, условие (6), а также транзитивность и рефлексивность отношений и . Итак 
, но это и означает транзитивность отношения , поскольку рефлексивно. Пусть теперь произведение есть эквивалентность. Тогда .
Легко проверить, что если и – эквивалентности, то 
и 
также будут эквивалентностями.
Оказывается, операция (ее иногда называют, объединением эквивалентностей, имея в виду, что обычное объединение эквивалентностей может не быть эквивалентностью) ассоциативна, т.е. является "хорошей" алгебраической операцией.
Для любых транзитивных отношений , и 
справедлив ассоциативный закон:
(7)
Докажем сначала две леммы.
Похожие работы
... чем «я», делает мировосприятие более многомерным, целостным, а значит более адекватным реальности [10, c.23-27]. Глава 2. Государственно-правовое регулирование проблем толерантности в современном обществе 2.1 Анализ правовых актов по проблемам толерантности В Декларации о ликвидации всех форм дискриминации на основе религии или убеждений, которая была принята Генеральной Ассамблеей ООН 25 ...
... сигналов, передающихся от одного живого организма другому (от родителей - потомкам) или от одних клеток, тканей, органов другим в процессе развития особи; 6. в математике, кибернетике – количественная мера устранения энтропии (неопределенности), мера организации системы; 7. в философии – свойство материальных объектов и процессов сохранять и порождать определенное состояние, которое в ...
... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...
... N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств. Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон ...
0 комментариев