Операции над толерантностями

2.2 Операции над толерантностями

Алгебраические свойства операций над толерантностями сравнительно просты.

2.2.1 Лемма

Если  – толерантность,  – эквивалентность и , то .

Доказательство получается применением транзитивного замыкания к обеим частям включения .

Смысл этой леммы в том, что транзитивное замыкание  отношения толерантности  есть минимальная эквивалентность, включающая эту толерантность.

Теорема. Для того, чтобы произведение  отношений толерантности  и  было толерантностью, необходимо и достаточно, чтобы  и  коммутировали. В этом случае .

Доказательство. Симметрическое произведение  толерантностей  и  всегда будет толерантностью. Симметричность симметризованного произведения  следует из того, что: .

Можно ввести еще один вариант симметризованного произведения: . Легко показать, что  будет толерантностью, если  и  – толерантности.

Полезно заметить, что для любого рефлексивного отношения  отношения  будут толерантностями.

2.3 Классы толерантности

Изучим структуру пространств толерантности и попробуем различными способами представить, как устроены произвольные пространства толерантности. Общий результат состоит в том, что любое отношение толерантности может быть задано набором признаков так, что толерантные элементы – это те, которые имеют общие признаки.

Охарактеризуем некоторую совокупность объектов признаками. Возьмем множество  всех этих объектов и множество  всех возможных признаков. Установим теперь соответствие , сопоставляющее каждому объекту из  все те признаки, которыми он обладает. Наоборот, любое соответствие  можно интерпретировать как присвоение некоторым объектам (элементам множества ) некоторых признаков (элементов из ).

Строгое понятие "соответствие" позволяет придать точный смысл обиходному выражению "иметь признаки". В 1 мы показали, что всякое всюду определенное на  соответствие  задает на множестве  отношение толерантности , определяемое как совпадение хотя бы одного признака (наличие общего признака).

Покажем, что любое отношение толерантности можно задать таким образом. Более того, существует некоторая каноническая совокупность признаков, которая строится по данному отношению толерантности независимо от способа его конкретного задания.

Отношение толерантности  на множестве  может быть определено на языке покрытий. (Система множеств  называется покрытием множества , если .)

Пусть  – всюду определенное соответствие. Сопоставим каждому "признаку"  множество  всех элементов из , обладающих признаком , т.е. множество . Система всех множеств  образует покрытие множества , поскольку любой элемент  входит в некоторое . Легко видеть, что  тогда и только тогда, когда существует такой признак , что  и . Таким образом, толерантность  может быть задана так: , если  и  принадлежат некоторому общему классу покрытия .

Перейдем к формальным построениям. Пусть задано пространство толерантности .

Похожие работы

Проблемы толерантности в современном обществе

Скачать

102605

4

0

... чем «я», делает мировосприятие более многомерным, целостным, а значит более адекватным реальности [10, c.23-27]. Глава 2. Государственно-правовое регулирование проблем толерантности в современном обществе   2.1 Анализ правовых актов по проблемам толерантности В Декларации о ликвидации всех форм дискриминации на основе религии или убеждений, которая была принята Генеральной Ассамблеей ООН 25 ...

Кибернетика

Скачать

107976

3

5

... сигналов, передающихся от одного живого организма другому (от родителей - потомкам) или от одних клеток, тканей, органов другим в процессе развития особи; 6.   в математике, кибернетике – количественная мера устранения энтропии (неопределенности), мера организации системы; 7.         в философии – свойство материальных объектов и процессов сохранять и порождать определенное состояние, которое в ...

Современные разработки в психологии

Скачать

611708

8

6

... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...

Объекты нечисловой природы

Скачать

33860

0

1

... N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств. Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон ...